미적분 예제

$y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$

단계 1

Set each solution of $y^{3} - 27 y$ as a function of $x$ .

$y = x^{2} - 90 \to f (x) = x^{2} - 90$

단계 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 27 y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 90)$

단계 2.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{3} - 27 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

단계 2.2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

단계 2.2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

단계 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 27 y]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 27 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.3.1

$- 27$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 27 y$ 의 미분은 $- 27 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$3 y^{2} y' - 27 \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y' - 27 y'$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 90$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 90]$

단계 2.3.3

$- 90$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 90$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 90$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.3.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 y^{2} y' - 27 y' = 2 x$

단계 2.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.1

$3 y^{2} y' - 27 y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.1.1

$3 y^{2} y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' y^{2} - 27 y' = 2 x$

단계 2.5.1.2

$- 27 y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9 = 2 x$

단계 2.5.1.3

$3 y' y^{2} + 3 y' \cdot - 9$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' (y^{2} - 9) = 2 x$

단계 2.5.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y' (y^{2} - 3^{2}) = 2 x$

단계 2.5.3

인수분해합니다.

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단계 2.5.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$3 y' ((y + 3) (y - 3)) = 2 x$

단계 2.5.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$

단계 2.5.4

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ 의 각 항을 $3 (y + 3) (y - 3)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$3 y' (y + 3) (y - 3) = 2 x$ 의 각 항을 $3 (y + 3) (y - 3)$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 2.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y' (y + 3) (y - 3)}{3 (y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 2.5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 2.5.4.2.2

$y + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 2.5.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 2.5.4.2.3

$y - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 2.5.4.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 2.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)}$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2 x}{3 (y + 3) (y - 3)} = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x = 0$

단계 3.2

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 4

Solve the function $f (x) = x^{2} - 90$ at $x = 0$ .

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{2} - 90$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 90$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $90$ 을 뺍니다.

$f (0) = - 90$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 90$ 입니다.

$- 90$

단계 5

The horizontal tangent lines are $y = - 90$

$y = - 90$

단계 6