미적분 예제

$y = \sin (x)$ , $[- 2, 4]$

단계 1

주어진 구간 $[a, b]$ 에서의 함수 $f$ 의 제곱평균제곱근(RMS)은 원래 값의 제곱의 산술평균(평균)에 제곱근을 취한 값입니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

단계 2

실제값을 함수의 제곱 평균 제곱근(RMS)을 구하는 공식에 대입합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} \sin^{2} (x) d x)}$

단계 3

적분을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{- 2}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int_{- 2}^{4} d x + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

단계 3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \cos (2 x) d x)$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} \cos (2 x) d x)$

단계 3.6

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.6.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.6.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.6.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 3.6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 3.6.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot - 2$

단계 3.6.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 4$

단계 3.6.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

단계 3.6.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 3.6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 8$

단계 3.6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 3.7

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \int_{- 4}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 3.8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{8} \cos (u) d u))$

단계 3.9

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (x]_{- 2}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

단계 3.10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$4$ , $- 2$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 4}^{8})$

단계 3.10.2

$8$ , $- 4$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((4) + 2 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (- 4)))$

단계 3.10.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (- 4)))$

단계 3.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1.1.1

$\sin (8)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - \sin (- 4)))$

단계 3.11.1.1.2

$\sin (- 4)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 1 \cdot 0.75680249))$

단계 3.11.1.1.3

$- 1$ 에 $0.75680249$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} (0.98935824 - 0.75680249))$

단계 3.11.1.2

$0.98935824$ 에서 $0.75680249$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} (6 - \frac{1}{2} \cdot 0.23255575)$

단계 3.11.1.3

$- \frac{1}{2} \cdot 0.23255575$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.1.3.1

$0.23255575$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (6 - 0.23255575 (\frac{1}{2}))$

단계 3.11.1.3.2

$- 0.23255575$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (6 + \frac{- 0.23255575}{2})$

단계 3.11.1.4

$- 0.23255575$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (6 - 0.11627787)$

단계 3.11.2

$6$ 에서 $0.11627787$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot 5.88372212$

단계 3.11.3

$\frac{1}{2}$ 와 $5.88372212$ 을 묶습니다.

$\frac{5.88372212}{2}$

단계 3.11.4

$5.88372212$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2.94186106$

단계 4

제곱 평균 제곱근(RMS) 공식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{4 + 2}$ 와 $2.94186106$ 을 묶습니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{4 + 2}}$

단계 4.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2.94186106}{6}}$

단계 4.2.2

$2.94186106$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$f_{rms} = \sqrt{0.49031017}$

소수 형태:

$f_{rms} = 0.70022151 \dots$