미적분 예제

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1 - t^{2}} d t$

단계 1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{1^{2} - t^{2}} d t]$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = t$ 입니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

단계 2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 2.1

$1 - t$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1 - t}{(1 + t) (1 - t)} d t]$

단계 2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

단계 2.2

$d$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

단계 2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t]$

단계 3

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ 의 미분은 $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 4

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 5

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- x^{- 2})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$

단계 6.2

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t (- \frac{1}{x^{2}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$

단계 6.3

$- \frac{1}{x^{2}}$ 와 $\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t$ 을 묶습니다.

$- \frac{\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t} d t}{x^{2}}$