미적분 예제

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

단계 1

$\sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3} d x$

단계 4

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\int \sqrt{5 x (x + 3)} d x$

단계 5

제곱식을 완성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 3$

단계 5.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 3$

단계 5.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 5 x \cdot 3$

단계 5.1.3

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{2} + 15 x$

단계 5.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 5$

$b = 15$

$c = 0$

단계 5.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{15}{2 \cdot 5}$

단계 5.4.2

$15$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

단계 5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$2 \cdot 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

단계 5.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2}$

단계 5.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{3}{2}$

단계 5.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 5}$

단계 5.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.1

$15$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 5}$

단계 5.5.2.1.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{225}{20}$

단계 5.5.2.1.3

$225$ 및 $20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.3.1

$225$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{5 (45)}{20}$

단계 5.5.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1.3.2.1

$20$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

단계 5.5.2.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 4}$

단계 5.5.2.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{45}{4}$

단계 5.5.2.2

$0$ 에서 $\frac{45}{4}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{45}{4}$

단계 5.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ 에 대입합니다.

$\int \sqrt{5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}} d x$

단계 6

먼저 $u = x + \frac{3}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = x + \frac{3}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x + \frac{3}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{2}]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x + \frac{3}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2}]$

단계 6.1.4

$\frac{3}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{3}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{3}{2}$ 입니다.

$1 + 0$

단계 6.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{5 u^{2} - \frac{45}{4}} d u$

단계 7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$5 u^{2} - \frac{45}{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$5 u^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{5 (u^{2}) - \frac{45}{4}} d u$

단계 7.1.2

$- \frac{45}{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})} d u$

단계 7.1.3

$5 (u^{2}) + 5 (- \frac{9}{4})$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{5 (u^{2} - \frac{9}{4})} d u$

단계 7.2

$\frac{9}{4}$ 을 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{5 (u^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})} d u$

단계 8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = u$ 이고 $b = \frac{3}{2}$ 입니다.

$\int \sqrt{5 (u + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

단계 9

공통 분모를 가지는 분수로 $u$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{5 (u \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

단계 10

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{5 (\frac{u \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (u - \frac{3}{2})} d u$

단계 10.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \sqrt{5 \frac{u \cdot 2 + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

단계 11

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u - \frac{3}{2})} d u$

단계 12

공통 분모를 가지는 분수로 $u$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (u \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

단계 13

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} (\frac{u \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})} d u$

단계 13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{u \cdot 2 - 3}{2}} d u$

단계 14

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \sqrt{5 \frac{2 u + 3}{2} \frac{2 u - 3}{2}} d u$

단계 15

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$5$ 와 $\frac{2 u + 3}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3)}{2} \cdot \frac{2 u - 3}{2}} d u$

단계 15.2

$\frac{5 (2 u + 3)}{2}$ 에 $\frac{2 u - 3}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{2 \cdot 2}} d u$

단계 15.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}} d u$

단계 16

$\frac{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$5 (2 u + 3) (2 u - 3)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{4}} d u$

단계 16.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\int \sqrt{\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}} d u$

단계 16.3

분수 $\frac{1^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\int \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 (2 u + 3) (2 u - 3))} d u$

단계 17

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)} d u$

단계 17.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{5 (2 u + 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

단계 17.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{(5 (2 u) + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

단계 17.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.4.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 5 \cdot 3) (2 u - 3)}}{2} d u$

단계 17.4.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{(10 u + 15) (2 u - 3)}}{2} d u$

단계 18

FOIL 계산법을 이용하여 $(10 u + 15) (2 u - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u - 3) + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

단계 18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u - 3)}}{2} d u$

단계 18.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{10 u (2 u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

단계 19

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u \cdot u + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

단계 19.1.2

지수를 더하여 $u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.2.1

$u$ 를 옮깁니다.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 (u \cdot u) + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

단계 19.1.2.2

$u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{10 \cdot 2 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

단계 19.1.3

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 10 u \cdot - 3 + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

단계 19.1.4

$- 3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 15 (2 u) + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

단계 19.1.5

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u + 15 \cdot - 3}}{2} d u$

단계 19.1.6

$15$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 30 u + 30 u - 45}}{2} d u$

단계 19.2

$- 30 u$ 를 $30 u$ 에 더합니다.

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} + 0 - 45}}{2} d u$

단계 19.3

$20 u^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\int \frac{\sqrt{20 u^{2} - 45}}{2} d u$

단계 20

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 u^{2} - 45} d u$

단계 21

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $u = \frac{3}{2} \sec (t)$ 라고 하면 $d u = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 는 양수입니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1.1

$2 \sqrt{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5^{1} {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.4

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.5

$\frac{3}{2}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.6

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1.6.1

$\frac{3 \sec (t)}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.6.2

$3 \sec (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.7

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.8

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{20 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.9

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1.9.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 (5) \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.9.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{4 \cdot 5 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.9.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{5 (9 \sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.1.10

$9$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.2

$45 \sec^{2} (t)$ 에서 $45$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t)) - 45} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.3

$- 45$ 에서 $45$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.4

$45 \sec^{2} (t) + 45 \cdot - 1$ 에서 $45$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 (\sec^{2} (t) - 1)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{45 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.6

$45 \tan^{2} (t)$ 을 ${(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.6.1

$45$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{9 (5) \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.6.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \cdot 5 \tan^{2} (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.6.3

$5$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.6.4

$3^{2} \tan^{2} (t)$ 을 ${(3 \tan (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} \cdot 5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 3 \tan (t) \sqrt{5} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

단계 22.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.1

$\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{3 \sec (t) \tan (t) \cdot 3}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

단계 22.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2} \tan (t) \sqrt{5} d t$

단계 22.2.3

$\frac{9 \sec (t) \tan (t)}{2}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} \sqrt{5} d t$

단계 22.2.4

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} \sqrt{5} d t$

단계 22.2.5

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} \sqrt{5} d t$

단계 22.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} \sqrt{5} d t$

단계 22.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} \sqrt{5} d t$

단계 22.2.8

$\frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ 와 $\sqrt{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{9 \sec (t) \tan^{2} (t) \sqrt{5}}{2} d t$

단계 23

$\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{9 \sqrt{5}}{2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

단계 24

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

$\frac{9 \sqrt{5}}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{2 \cdot 2} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 24.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 25

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

단계 26

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

단계 27

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int \sec^{1} (t) \cdot - 1 + \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 27.2

각 항을 간단히 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

단계 28

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 29

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 30

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 31

$\sec^{3} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

단계 32

$u = \sec (t)$ 이고 $d v = \sec^{2} (t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

단계 33

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

단계 34

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 35

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 36

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 36.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 36.2

$\tan^{2} (t)$ 와 $\sec (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

단계 37

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

단계 38

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 38.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 38.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 38.3

$\sec (t)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 39

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

단계 40

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 41

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 42

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 43

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

단계 44

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

단계 45

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

단계 46

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 47

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 48

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 49

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 49.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 49.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 50

$\int \sec^{3} (t) d t$ 을 풀면 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 입니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

단계 51

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

단계 52

간단히 합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

단계 53

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 53.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

단계 53.2

$- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 를 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 에 더합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

단계 53.3

$\frac{9 \sqrt{5}}{4}$ 에 $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

단계 53.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

단계 54

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 54.1

$t$ 를 모두 $arcsec (\frac{2 u}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 u}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 u}{3})) |))}{8} + C$

단계 54.2

$u$ 를 모두 $x + \frac{3}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 55.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 55.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 55.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 55.4.1

공약수로 약분합니다.

단계 55.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 55.6.1

공약수로 약분합니다.

단계 55.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 (x + \frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 55.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 2 (\frac{3}{2})}{3})) |))}{8} + C$

단계 55.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \sqrt{5} (\sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) + \tan (arcsec (\frac{2 x + 3}{3})) |))}{8} + C$

단계 56

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$

단계 57

답은 함수 $f (x) = \sqrt{5 x} \cdot \sqrt{x + 3}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{9 \sqrt{5}}{8} (\sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} (2 x + 3))) |)) + C$