미적분 예제

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

단계 1

$3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

단계 4

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \sqrt{x} (1 - 2 x) d x$

단계 5

$u = 1 - 2 x$ 이고 $d v = \sqrt{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$3 ((1 - 2 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x)$

단계 6.2

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d x)$

단계 6.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{3} d x)$

단계 6.4

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

단계 6.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

단계 8.2

$\int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

단계 9

$\frac{4}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{4}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C))$

단계 11

답을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{2}{5}$ 와 $x^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

단계 11.2

$3 ((1 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{4}{3} (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ 을 $3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 11.3.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 11.3.2.1

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 11.3.2.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 11.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 11.3.4

$5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 11.3.5

$- 20 x^{\frac{5}{2}}$ 를 $8 x^{\frac{5}{2}}$ 에 더합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 11.3.6

$- 12 x^{\frac{5}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{15}) + C$

단계 11.3.7

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.7.1

$15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}) + C$

단계 11.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 (- 4 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

단계 11.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.4

간단히 합니다.

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단계 11.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.4.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 11.4.3

$3 (- \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5})$ 을 곱합니다.

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단계 11.4.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

단계 11.4.3.2

$- 3$ 와 $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

단계 11.4.3.3

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

단계 11.4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

단계 12

답은 함수 $f (x) = 3 \sqrt{x} (1 - 2 x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$