미적분 예제

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

단계 1

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

단계 4.1.2

$x^{\frac{1}{2}} - x$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

단계 4.1.2.2

$- x$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

단계 4.1.2.3

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

단계 4.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

단계 4.3.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

단계 4.3.5.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 5

$x^{\frac{3}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

단계 6

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

단계 6.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

단계 6.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

단계 6.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 7.2

$x^{- \frac{3}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 7.3

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

단계 7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

단계 7.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

단계 7.6

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

단계 7.7

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.7.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

단계 7.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

단계 7.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

단계 7.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

단계 7.7.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

단계 7.8

$x^{- \frac{3}{2}}$ 와 $- x^{- 1}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 10

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

간단히 합니다.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 12.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$