미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

단계 1

극한을 좌극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

단계 2

변수에 값을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

단계 2.2

$\cot (0)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

단계 2.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

단계 2.4

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ 이(가) 정의되지 않았으므로 극한이 없습니다.

$존재하지 않음$

단계 3

극한을 우극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

단계 4

우극한 값을 계산합니다.

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단계 4.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

단계 4.1.1.2

$x$ 값이 오른쪽에서 $0$ 에 근접함에 따라 함수 값이 무한히 증가합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

단계 4.1.1.3

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (x)$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 4.1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 4.1.2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 4.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 4.1.3.2

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

단계 4.1.3.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

단계 4.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

단계 4.2

$- \csc^{2} (x) x$ 을 $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

단계 4.3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 4.3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 4.3.1.2.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 4.3.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 4.3.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 4.3.1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

단계 4.3.1.3.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{0}{0}$

단계 4.3.1.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 4.3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 4.3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 4.3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 4.3.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 4.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 4.3.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 4.3.3.5

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 4.3.3.5.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 4.3.3.5.3

$u$ 를 모두 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 4.3.3.6

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

단계 4.3.3.7

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

단계 4.3.3.8

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

단계 4.3.3.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

단계 4.3.3.10

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

단계 4.3.3.11

간단히 합니다.

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단계 4.3.3.11.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

단계 4.3.3.11.2

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

단계 4.3.3.11.3

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 4.3.3.11.4

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.11.4.1

$2 \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 4.3.3.11.4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 4.3.3.11.4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

단계 4.3.3.11.5

사인 배각 공식을 적용합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

단계 4.3.4

분수를 나눕니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

단계 4.3.5

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ 을 $\csc (2 x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

단계 4.3.6

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

단계 4.4

$\csc (2 x)$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

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단계 4.4.1

상수 배수 $- 1$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

단계 4.4.2

$x$ 값이 오른쪽에서 $0$ 에 근접함에 따라 함수 값이 무한히 증가합니다.

$\infty$

단계 4.4.3

$\csc (2 x)$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

$- \infty$

단계 5

단측 극한 중 하나가 존재하지 않으면 극한이 존재하지 않습니다.

$존재하지 않음$