미적분 예제

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.4.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2.4.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2.5

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2.5.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.2.5.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{0} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{x} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x} + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $e^{x} + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $e^{x} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.6.2

$e^{x} + 1$ 에 $\frac{1}{e^{x} + x}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1 = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 5

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $\ln (y)$ 의 극한을 구합니다.

$\ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 7

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 8

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 9

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 10

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 11

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 12

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

단계 13

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

단계 14

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

단계 15

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

단계 16

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

단계 17

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x}$

단계 18

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

단계 19

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 19.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

단계 19.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

단계 19.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

단계 19.4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

단계 19.5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x}$

단계 19.6

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

단계 20

답을 간단히 합니다.

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단계 20.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 20.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (y) = \frac{1 + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

단계 20.1.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\ln (y) = \frac{2}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

단계 20.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 20.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (y) = \frac{2}{1 + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

단계 20.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (y) = \frac{2}{1} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

단계 20.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (y) = 2 = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

단계 20.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 20.4.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (y) = 2 = \frac{1 + 1}{e^{0} + 0}$

단계 20.4.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{e^{0} + 0}$

단계 20.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 20.5.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{1 + 0}$

단계 20.5.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{1}$

단계 20.6

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (y) = 2 = 2$