미적분 예제

$f (x) = - 2 {(x - 3)}^{\frac{6}{7}} + 9$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- 2 {(x - 3)}^{\frac{6}{7}} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 {(x - 3)}^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 {(x - 3)}^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 {(x - 3)}^{\frac{6}{7}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 {(x - 3)}^{\frac{6}{7}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{6}{7}}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2.2

$n = \frac{6}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6}{7} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6}{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6}{7} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.7

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.9.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{6 - 7}{7}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.9.2

$6$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{7}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{- \frac{1}{7}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 (\frac{6}{7} {(x - 3)}^{- \frac{1}{7}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.12

$\frac{6}{7}$ 와 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{7}}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{6 {(x - 3)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.13

$\frac{6 {(x - 3)}^{- \frac{1}{7}}}{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{6 {(x - 3)}^{- \frac{1}{7}}}{7} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{7}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 2 \frac{6}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.15

$- 2$ 와 $\frac{6}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 6}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.16

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}} + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$- \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}} + 0$

단계 1.1.3.2

$- \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}}$ 입니다.

$- \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{12}{7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$12 = 0$

단계 2.3

$12 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$- \frac{12}{7 \sqrt[7]{{(x - 3)}^{1}}}$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$- \frac{12}{7 \sqrt[7]{x - 3}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{12}{7 \sqrt[7]{x - 3}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$7 \sqrt[7]{x - 3} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $7$ 승합니다.

${(7 \sqrt[7]{x - 3})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[7]{x - 3}$ 을(를) ${(x - 3)}^{\frac{1}{7}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

${(7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1

$7 {(x - 3)}^{\frac{1}{7}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$7^{7} {({(x - 3)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.2

$7$ 를 $7$ 승 합니다.

$823543 {({(x - 3)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(x - 3)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$823543 {(x - 3)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$823543 {(x - 3)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$823543 {(x - 3)}^{1} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$823543 (x - 3) = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$823543 x + 823543 \cdot - 3 = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.6

$823543$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$823543 x - 2470629 = 0^{7}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$823543 x - 2470629 = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

방정식의 양변에 $2470629$ 를 더합니다.

$823543 x = 2470629$

단계 3.3.3.2

$823543 x = 2470629$ 의 각 항을 $823543$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$823543 x = 2470629$ 의 각 항을 $823543$ 로 나눕니다.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{2470629}{823543}$

단계 3.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

$823543$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{2470629}{823543}$

단계 3.3.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{2470629}{823543}$

단계 3.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.3.1

$2470629$ 을 $823543$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $- 2 {(x - 3)}^{\frac{6}{7}} + 9$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$- 2 {((3) - 3)}^{\frac{6}{7}} + 9$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 \cdot 0^{\frac{6}{7}} + 9$

단계 4.1.2.1.2

$0$ 을 $0^{7}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 \cdot {(0^{7})}^{\frac{6}{7}} + 9$

단계 4.1.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 \cdot 0^{7 (\frac{6}{7})} + 9$

단계 4.1.2.1.4

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 \cdot 0^{7 (\frac{6}{7})} + 9$

단계 4.1.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \cdot 0^{6} + 9$

단계 4.1.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 2 \cdot 0 + 9$

단계 4.1.2.1.6

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 9$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$9$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(3, 9)$

단계 5