미적분 예제

$f (x) = 5 - | x - 5 |$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $5 - | x - 5 |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

단계 1.1.1.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- | x - 5 |]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- | x - 5 |$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [| x - 5 |]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 5])$

단계 1.1.2.2.2

$| u |$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{u}{| u |}$ 입니다.

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \frac{d}{d x} [x - 5])$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

단계 1.1.2.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} (1 + 0))$

단계 1.1.2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - (\frac{x - 5}{| x - 5 |} \cdot 1)$

단계 1.1.2.7

$\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

단계 1.1.3

$0$ 에서 $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$ 입니다.

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{x - 5}{| x - 5 |} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.3

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x - 5}{| x - 5 |}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$| x - 5 | = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x - 5 = \pm 0$

단계 3.2.2

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x - 5 = 0$

단계 3.2.3

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $5 - | x - 5 |$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 5$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$5 - | (5) - 5 |$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1.1

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$5 - | 0 |$

단계 4.1.2.1.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$5 - 0$

단계 4.1.2.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$5 + 0$

단계 4.1.2.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(5, 5)$

단계 5