미적분 예제

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $U e^{t} + V e^{- t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$U$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $U e^{t}$ 의 미분은 $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 입니다.

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

단계 1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$V$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $V e^{- t}$ 의 미분은 $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 입니다.

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

단계 1.1.3.2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- t$ 로 바꿉니다.

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

단계 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

단계 1.1.3.2.3

$u$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

단계 1.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

단계 1.1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

단계 1.1.3.6

$e^{- t}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

단계 1.1.3.7

$- 1 e^{- t}$ 을 $- e^{- t}$ 로 바꿔 씁니다.

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{t} U - e^{- t} V$

단계 1.1.4.2

$e^{t} U - e^{- t} V$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

단계 1.2

$F (t)$ 의 $t$ 에 대한 1차 도함수는 $U e^{t} - V e^{- t}$ 입니다.

$U e^{t} - V e^{- t}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $t$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음