미적분 예제

$f (x) = 8 x^{3} - 78 x^{2} - 288 x + 8$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{3} - 78 x^{2} - 288 x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 78$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 78 x^{2}$ 의 미분은 $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$24 x^{2} - 78 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 78 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 78$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 156 x + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 288 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 288$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 288 x$ 의 미분은 $- 288 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 x^{2} - 156 x - 288 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x^{2} - 156 x - 288 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.4.3

$- 288$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 156 x - 288 + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$24 x^{2} - 156 x - 288 + 0$

단계 1.1.5.2

$24 x^{2} - 156 x - 288$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 24 x^{2} - 156 x - 288$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $24 x^{2} - 156 x - 288$ 입니다.

$24 x^{2} - 156 x - 288$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $24 x^{2} - 156 x - 288 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$24 x^{2} - 156 x - 288 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$24 x^{2} - 156 x - 288$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$24 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (2 x^{2}) - 156 x - 288 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 156 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 13 x) - 288 = 0$

단계 2.2.1.3

$- 288$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 13 x) + 12 (- 24) = 0$

단계 2.2.1.4

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 13 x)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (2 x^{2} - 13 x) + 12 (- 24) = 0$

단계 2.2.1.5

$12 (2 x^{2} - 13 x) + 12 (- 24)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (2 x^{2} - 13 x - 24) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 24 = - 48$ 이고 합이 $b = - 13$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$- 13 x$ 에서 $- 13$ 를 인수분해합니다.

$12 (2 x^{2} - 13 x - 24) = 0$

단계 2.2.2.1.1.2

$- 13$ 를 $3$ + $- 16$ 로 다시 씁니다.

$12 (2 x^{2} + (3 - 16) x - 24) = 0$

단계 2.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (2 x^{2} + 3 x - 16 x - 24) = 0$

단계 2.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$12 ((2 x^{2} + 3 x) - 16 x - 24) = 0$

단계 2.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$12 (x (2 x + 3) - 8 (2 x + 3)) = 0$

단계 2.2.2.1.3

최대공약수 $2 x + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$12 ((2 x + 3) (x - 8)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 (2 x + 3) (x - 8) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x + 3 = 0$

$x - 8 = 0$

단계 2.4

$2 x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 3 = 0$

단계 2.4.2

$2 x + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$2 x = - 3$

단계 2.4.2.2

$2 x = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$2 x = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{2}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3}{2}$

단계 2.5

$x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 8 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 2.6

$12 (2 x + 3) (x - 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{3}{2}, 8$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $8 x^{3} - 78 x^{2} - 288 x + 8$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = - \frac{3}{2}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- \frac{3}{2}$ 를 대입합니다.

$8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1.1

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.1.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 (- \frac{27}{2^{3}}) - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 (- \frac{27}{8}) - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.5

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.5.1

$- \frac{27}{8}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$8 (\frac{- 27}{8}) - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$8 (\frac{- 27}{8}) - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$- 27 - 78 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.6

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.6.1

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 27 - 78 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.6.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 27 - 78 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.7

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 27 - 78 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.8

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 27 - 78 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.9

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 27 - 78 \frac{9}{2^{2}} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 27 - 78 (\frac{9}{4}) - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.11

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.11.1

$- 78$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 27 + 2 (- 39) \frac{9}{4} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.11.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 27 + 2 \cdot - 39 \frac{9}{2 \cdot 2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.11.3

공약수로 약분합니다.

$- 27 + 2 \cdot - 39 \frac{9}{2 \cdot 2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.11.4

수식을 다시 씁니다.

$- 27 - 39 (\frac{9}{2}) - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.12

$- 39$ 와 $\frac{9}{2}$ 을 묶습니다.

$- 27 + \frac{- 39 \cdot 9}{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.13

$- 39$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 27 + \frac{- 351}{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 27 - \frac{351}{2} - 288 (- \frac{3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.15.1

$- \frac{3}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 27 - \frac{351}{2} - 288 (\frac{- 3}{2}) + 8$

단계 4.1.2.1.15.2

$- 288$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 27 - \frac{351}{2} + 2 (- 144) \frac{- 3}{2} + 8$

단계 4.1.2.1.15.3

공약수로 약분합니다.

$- 27 - \frac{351}{2} + 2 \cdot - 144 \frac{- 3}{2} + 8$

단계 4.1.2.1.15.4

수식을 다시 씁니다.

$- 27 - \frac{351}{2} - 144 \cdot - 3 + 8$

단계 4.1.2.1.16

$- 144$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 27 - \frac{351}{2} + 432 + 8$

단계 4.1.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$- 27$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 27}{1} - \frac{351}{2} + 432 + 8$

단계 4.1.2.2.2

$\frac{- 27}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{351}{2} + 432 + 8$

단계 4.1.2.2.3

$\frac{- 27}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{351}{2} + 432 + 8$

단계 4.1.2.2.4

$432$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{351}{2} + \frac{432}{1} + 8$

단계 4.1.2.2.5

$\frac{432}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{351}{2} + \frac{432}{1} \cdot \frac{2}{2} + 8$

단계 4.1.2.2.6

$\frac{432}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{351}{2} + \frac{432 \cdot 2}{2} + 8$

단계 4.1.2.2.7

$8$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{351}{2} + \frac{432 \cdot 2}{2} + \frac{8}{1}$

단계 4.1.2.2.8

$\frac{8}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{351}{2} + \frac{432 \cdot 2}{2} + \frac{8}{1} \cdot \frac{2}{2}$

단계 4.1.2.2.9

$\frac{8}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{351}{2} + \frac{432 \cdot 2}{2} + \frac{8 \cdot 2}{2}$

단계 4.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 27 \cdot 2 - 351 + 432 \cdot 2 + 8 \cdot 2}{2}$

단계 4.1.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$- 27$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 54 - 351 + 432 \cdot 2 + 8 \cdot 2}{2}$

단계 4.1.2.4.2

$432$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 54 - 351 + 864 + 8 \cdot 2}{2}$

단계 4.1.2.4.3

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 54 - 351 + 864 + 16}{2}$

단계 4.1.2.5

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$- 54$ 에서 $351$ 을 뺍니다.

$\frac{- 405 + 864 + 16}{2}$

단계 4.1.2.5.2

$- 405$ 를 $864$ 에 더합니다.

$\frac{459 + 16}{2}$

단계 4.1.2.5.3

$459$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{475}{2}$

단계 4.2

$x = 8$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $8$ 를 대입합니다.

$8 {(8)}^{3} - 78 {(8)}^{2} - 288 \cdot 8 + 8$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

지수를 더하여 $8$ 에 ${(8)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

$8$ 에 ${(8)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1.1

$8$ 를 $1$ 승 합니다.

$8^{1} {(8)}^{3} - 78 {(8)}^{2} - 288 \cdot 8 + 8$

단계 4.2.2.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8^{1 + 3} - 78 {(8)}^{2} - 288 \cdot 8 + 8$

단계 4.2.2.1.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$8^{4} - 78 {(8)}^{2} - 288 \cdot 8 + 8$

단계 4.2.2.1.2

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$4096 - 78 {(8)}^{2} - 288 \cdot 8 + 8$

단계 4.2.2.1.3

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$4096 - 78 \cdot 64 - 288 \cdot 8 + 8$

단계 4.2.2.1.4

$- 78$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$4096 - 4992 - 288 \cdot 8 + 8$

단계 4.2.2.1.5

$- 288$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$4096 - 4992 - 2304 + 8$

단계 4.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$4096$ 에서 $4992$ 을 뺍니다.

$- 896 - 2304 + 8$

단계 4.2.2.2.2

$- 896$ 에서 $2304$ 을 뺍니다.

$- 3200 + 8$

단계 4.2.2.2.3

$- 3200$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- 3192$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- \frac{3}{2}, \frac{475}{2}), (8, - 3192)$

단계 5