미적분 예제

$f (x) = - x^{3} + 3 x - 11$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} + 3 x - 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 11]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 11$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 3 + 0$

단계 1.1.4.2

$- 3 x^{2} + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 3$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} + 3$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 3$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} + 3 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} + 3 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 3 x^{2} = - 3$

단계 2.3

$- 3 x^{2} = - 3$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 3 x^{2} = - 3$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 3}{- 3}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$- 3$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $- x^{3} + 3 x - 11$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$- {(1)}^{3} + 3 (1) - 11$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 1 \cdot 1 + 3 (1) - 11$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 3 (1) - 11$

단계 4.1.2.1.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 3 - 11$

단계 4.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 - 11$

단계 4.1.2.2.2

$2$ 에서 $11$ 을 뺍니다.

$- 9$

단계 4.2

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$- {(- 1)}^{3} + 3 (- 1) - 11$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

$- 1$ 에 ${(- 1)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

${(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} + 3 (- 1) - 11$

단계 4.2.2.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(- 1)}^{1 + 3} + 3 (- 1) - 11$

단계 4.2.2.1.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

${(- 1)}^{4} + 3 (- 1) - 11$

단계 4.2.2.1.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$1 + 3 (- 1) - 11$

단계 4.2.2.1.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - 3 - 11$

단계 4.2.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 - 11$

단계 4.2.2.2.2

$- 2$ 에서 $11$ 을 뺍니다.

$- 13$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(1, - 9), (- 1, - 13)$

단계 5