미적분 예제

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

단계 1.1.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 1.1.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.1.3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 1.1.4

미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 1.1.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

단계 1.1.4.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

단계 1.1.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

단계 1.1.5

간단히 합니다.

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단계 1.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

단계 1.1.5.2

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

단계 1.1.5.3

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ 입니다.

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

단계 2.2

양변에 그 값을 더하여 $- \frac{e^{- x}}{4}$ 을 식의 우변으로 옮깁니다.

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

단계 2.3

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$e^{x} = e^{- x}$

단계 2.4

밑이 같으므로 지수가 같을 경우에만 두 식은 같습니다.

$x = - x$

단계 2.5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 2.5.1.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$x + x = 0$

단계 2.5.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x = 0$

단계 2.5.2

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.5.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

단계 4.1.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 + 1}{4}$

단계 4.1.2.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{4}$

단계 4.1.2.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{4}$

단계 4.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2}$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(0, \frac{1}{2})$

단계 5