미적분 예제

$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ $x \geq 2$

단계 1

주어진 함수 치역 구하기

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

$[1, \infty)$

단계 1.2

$[1, \infty)$ 을(를) 부등식으로 변환합니다.

$y \geq 1$

단계 2

역함수를 구합니다.

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단계 2.1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = y^{2} - 4 y + 5$

단계 2.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.1

$y^{2} - 4 y + 5 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{2} - 4 y + 5 = x$

단계 2.2.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$y^{2} - 4 y + 5 - x = 0$

단계 2.2.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.2.4

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 5 - x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.2

$5 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.3

$- 4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.4

$- 4 (1 - x)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.4.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.4.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

단계 2.2.5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

단계 2.2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.2

$5 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.3

$- 4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.4

$- 4 (1 - x)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.4.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.4.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

단계 2.2.6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

단계 2.2.6.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

단계 2.2.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1.1

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1.1.1

${(- 4)}^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.1.3

$- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (5 - x))$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.2

$5 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 5 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.3

$- 4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.4

$- 4 (1 - x)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.4.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.4.4

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (1^{2} - x))}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1^{2} - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$

단계 2.2.7.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (1 - x)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (1 - x)}$

단계 2.2.7.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

단계 2.2.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

단계 2.3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (1 - x)}$

단계 3

정의역과 원함수의 치역을 사용하여 역수를 구합니다.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (1 - x)}, x \geq 1$

단계 4