미적분 예제

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{- x} \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

단계 1.1.2

$f (x) = e^{- x}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 1.1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 1.1.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 1.1.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 1.1.4.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 1.1.5

미분합니다.

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단계 1.1.5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

단계 1.1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

단계 1.1.5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

단계 1.1.5.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

단계 1.1.5.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

단계 1.1.6.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.6.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

단계 1.1.6.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

단계 1.1.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 입니다.

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

단계 2.2

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 에서 $2 e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$- 2 e^{- x} \sin (x)$ 에서 $2 e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

단계 2.2.1.2

$- 2 e^{- x} \cos (x)$ 에서 $2 e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

단계 2.2.1.3

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ 에서 $2 e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

단계 2.2.2

$- 1 \sin (x)$ 을 $- \sin (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

단계 2.2.3

$- 1 \cos (x)$ 을 $- \cos (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

단계 2.4

$e^{- x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$e^{- x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- x} = 0$

단계 2.4.2

$e^{- x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

단계 2.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.4.2.3

$e^{- x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.5

$- \sin (x) - \cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$- \sin (x) - \cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

단계 2.5.2

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.2

분수를 나눕니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.5

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.5.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.6

분수를 나눕니다.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 2.5.2.8

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

단계 2.5.2.9

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$- \tan (x) - 1 = 0$

단계 2.5.2.10

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- \tan (x) = 1$

단계 2.5.2.11

$- \tan (x) = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.11.1

$- \tan (x) = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.11.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.11.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.11.2.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.11.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.11.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = - 1$

단계 2.5.2.12

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (- 1)$

단계 2.5.2.13

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.13.1

$\arctan (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{4}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{4}$

단계 2.5.2.14

탄젠트 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 제3사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 뺍니다.

$x = - \frac{π}{4} - π$

단계 2.5.2.15

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.15.1

$- \frac{π}{4} - π$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

단계 2.5.2.15.2

결과 각인 $\frac{3 π}{4}$ 은 양의 값을 가지며 $- \frac{π}{4} - π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.5.2.16

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.5.2.16.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 2.5.2.16.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 2.5.2.16.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 2.5.2.16.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.5.2.17

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 2.5.2.17.1

$- \frac{π}{4}$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{4} + π$

단계 2.5.2.17.2

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.5.2.17.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.2.17.3.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 2.5.2.17.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

단계 2.5.2.17.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.17.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

단계 2.5.2.17.4.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{3 π}{4}$

단계 2.5.2.17.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 2.5.2.18

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

단계 2.6

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + π n$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{3 π}{4} + π n$ 입니다.

$\frac{3 π}{4} + π n$

단계 4

도함수 $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

단계 5.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

단계 5.2.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

단계 5.2.2

최종 답은 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ 입니다.

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

단계 5.3

$x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ 에서의 도함수는 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

단계 6.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

단계 6.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

단계 6.2.2

최종 답은 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ 입니다.

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

단계 6.3

$x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ 에서의 도함수는 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

단계 8