미적분 예제

$y = \ln (x) \cos (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{1}{x}$

단계 1.4

분수를 통분합니다.

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단계 1.4.1

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{x}$

단계 1.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x) \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

단계 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

단계 2.2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

단계 2.2.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

단계 2.2.5

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{\sin (x)}{x} - (\ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{\sin (x)}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.4.2.2.1

$\frac{\sin (x)}{x}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x \cdot x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x^{1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1 + 1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{2}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) x + x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.4

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - 1 \cdot x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.5

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.6

$- x \sin (x)$ 에서 $x \sin (x)$ 을 뺍니다.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- \ln (x) \cos (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \ln (x) \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.8

$- \ln (x) \cos (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (x) \ln (x) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.4

$- x^{2} \cos (x) \ln (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.5

$- 2 x \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.6

$- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

단계 2.4.7

$- \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))}{x^{2}}$

단계 2.4.8

$- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

단계 2.4.9

$- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ 을 $- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

단계 2.4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x)}{x^{2}}$