미적분 예제

$y = 5 \cos (x) + 4 {(x + 6)}^{- 2} - 3 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $5 \cos (x) + 4 {(x + 6)}^{- 2} - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$5 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.2.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \sin (x) + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 {(x + 6)}^{- 2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{- 2}]$ 입니다.

$- 5 \sin (x) + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.3

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.5

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.3.8

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3 \cdot 1$

단계 1.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3 - 5 \sin (x)$

단계 1.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 8 \frac{1}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$

단계 1.5.2.2

$- 8$ 와 $\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$

단계 1.5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{8}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}]$ 입니다.

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}$ 을 ${({(x + 6)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 6)}^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(x + 6)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x + 6)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x + 6)}^{3}$ 로 바꿉니다.

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.5

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.7

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.8

${({(x + 6)}^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 8 (- {(x + 6)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.8.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 8 (- {(x + 6)}^{- 6} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 (- {(x + 6)}^{- 6} (3 {(x + 6)}^{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 (- {(x + 6)}^{- 6} (3 {(x + 6)}^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.11

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 (- 3 {(x + 6)}^{- 6} {(x + 6)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.12

지수를 더하여 ${(x + 6)}^{- 6}$ 에 ${(x + 6)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.12.1

${(x + 6)}^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 8 (- 3 ({(x + 6)}^{2} {(x + 6)}^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 8 (- 3 {(x + 6)}^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.12.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 8 (- 3 {(x + 6)}^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.2.13

$- 3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$24 {(x + 6)}^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$24 {(x + 6)}^{- 4} + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 \sin (x)$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$24 {(x + 6)}^{- 4} + 0 - 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.4.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$24 {(x + 6)}^{- 4} + 0 - 5 \cos (x)$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$24 \frac{1}{{(x + 6)}^{4}} + 0 - 5 \cos (x)$

단계 2.5.2

항을 묶습니다.

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단계 2.5.2.1

$24$ 와 $\frac{1}{{(x + 6)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{24}{{(x + 6)}^{4}} + 0 - 5 \cos (x)$

단계 2.5.2.2

$\frac{24}{{(x + 6)}^{4}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{24}{{(x + 6)}^{4}} - 5 \cos (x)$