미적분 예제

$y = \frac{1}{25} \cot (5 x + 1)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{25}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{25} \cdot \cot (5 x + 1)$ 의 미분은 $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [\cot (5 x + 1)]$ 입니다.

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [\cot (5 x + 1)]$

단계 1.2

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = 5 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{25} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 1.2.2

$\cot (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u)$ 입니다.

$\frac{1}{25} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{25} (- \csc^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{25}$ 와 $\csc^{2} (5 x + 1)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25} \frac{d}{d x} [5 x + 1]$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $5 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25} (5 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25} (5 + 0)$

단계 1.3.7

항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.7.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25} \cdot 5$

단계 1.3.7.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 5 \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25}$

단계 1.3.7.3

$- 5$ 와 $\frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{25}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5 \csc^{2} (5 x + 1)}{25}$

단계 1.3.7.4

$- 5$ 및 $25$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.7.4.1

$- 5 \csc^{2} (5 x + 1)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- \csc^{2} (5 x + 1))}{25}$

단계 1.3.7.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.7.4.2.1

$25$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- \csc^{2} (5 x + 1))}{5 (5)}$

단계 1.3.7.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (- \csc^{2} (5 x + 1))}{5 \cdot 5}$

단계 1.3.7.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \csc^{2} (5 x + 1)}{5}$

단계 1.3.7.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{5}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- \frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{\csc^{2} (5 x + 1)}{5}$ 의 미분은 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (5 x + 1)]$ 입니다.

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (5 x + 1)]$

단계 2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (5 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\csc (5 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)])$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)])$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\csc (5 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{5} (2 \csc (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)])$

단계 2.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{1}{5}) (\csc (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)])$

단계 2.3.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{5} (\csc (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)])$

단계 2.3.3

$\csc (5 x + 1)$ 와 $\frac{- 2}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\csc (5 x + 1) \cdot - 2}{5} \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)]$

단계 2.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$\csc (5 x + 1)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{- 2 \cdot \csc (5 x + 1)}{5} \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)]$

단계 2.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \csc (5 x + 1)}{5} \frac{d}{d x} [\csc (5 x + 1)]$

단계 2.4

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 5 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 \csc (5 x + 1)}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.4.2

$\csc (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 입니다.

$- \frac{2 \csc (5 x + 1)}{5} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 \csc (5 x + 1)}{5} (- \csc (5 x + 1) \cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.5

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{2 \csc (5 x + 1)}{5} (\csc (5 x + 1) \cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.5.2

$\frac{2 \csc (5 x + 1)}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \csc (5 x + 1)}{5} (\csc (5 x + 1) \cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.5.3

$\csc (5 x + 1)$ 와 $\frac{2 \csc (5 x + 1)}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\csc (5 x + 1) (2 \csc (5 x + 1))}{5} (\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.6

$\csc (5 x + 1)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (\csc^{1} (5 x + 1) \csc (5 x + 1))}{5} (\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.7

$\csc (5 x + 1)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (\csc^{1} (5 x + 1) \csc^{1} (5 x + 1))}{5} (\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 {\csc (5 x + 1)}^{1 + 1}}{5} (\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.9

분수를 통분합니다.

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단계 2.9.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \csc^{2} (5 x + 1)}{5} (\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 2.9.2

$\cot (5 x + 1)$ 와 $\frac{2 \csc^{2} (5 x + 1)}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cot (5 x + 1) (2 \csc^{2} (5 x + 1))}{5} \frac{d}{d x} [5 x + 1]$

단계 2.9.3

$\cot (5 x + 1)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5} \frac{d}{d x} [5 x + 1]$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $5 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.11

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.13

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5} (5 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.14

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5} (5 + 0)$

단계 2.15

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5} \cdot 5$

단계 2.15.2

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1) \cdot 5}{5}$

단계 2.15.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{5}$

단계 2.15.4

$10$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.4.1

$10 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1))}{5}$

단계 2.15.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.4.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1))}{5 (1)}$

단계 2.15.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1))}{5 \cdot 1}$

단계 2.15.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)}{1}$

단계 2.15.4.2.4

$2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)$

단계 2.15.5

$2 \cot (5 x + 1) \csc^{2} (5 x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$