미적분 예제

$y = \cos^{2} (θ)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (θ) = θ^{2}$ , $g (θ) = \cos (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (θ)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $\cos (θ)$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

단계 1.2

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

단계 1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- 2$ 은 $θ$ 에 대해 일정하므로 $θ$ 에 대한 $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$

단계 2.2

$f (θ) = \cos (θ)$ , $g (θ) = \sin (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 는 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.3

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.4

$\cos (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.5

$\cos (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.8

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ)))$

단계 2.9

$\sin (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

단계 2.10

$\sin (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

단계 2.13

간단히 합니다.

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단계 2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ))$

단계 2.13.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ)$