미적분 예제

$y = (A x^{2} + B x + C) e^{5 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$e^{5 x}$ 은 $A$ 에 대해 일정하므로 $A$ 에 대한 $(A x^{2} + B x + C) e^{5 x}$ 의 미분은 $e^{5 x} \frac{d}{d A} [A x^{2} + B x + C]$ 입니다.

$e^{5 x} \frac{d}{d A} [A x^{2} + B x + C]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $A x^{2} + B x + C$ 를 $A$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d A} [A x^{2}] + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C]$ 가 됩니다.

$e^{5 x} (\frac{d}{d A} [A x^{2}] + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

단계 1.3

$x^{2}$ 은 $A$ 에 대해 일정하므로 $A$ 에 대한 $A x^{2}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d A} [A]$ 입니다.

$e^{5 x} (x^{2} \frac{d}{d A} [A] + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

단계 1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ 는 $n A^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{5 x} (x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

단계 1.5

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{5 x} (x^{2} + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

단계 1.6

$B x$ 이 $A$ 에 대해 일정하므로, $B x$ 를 $A$ 에 대해 미분하면 $B x$ 입니다.

$e^{5 x} (x^{2} + 0 + \frac{d}{d A} [C])$

단계 1.7

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{5 x} (x^{2} + \frac{d}{d A} [C])$

단계 1.8

$C$ 이 $A$ 에 대해 일정하므로, $C$ 를 $A$ 에 대해 미분하면 $C$ 입니다.

$e^{5 x} (x^{2} + 0)$

단계 1.9

식을 간단히 합니다.

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단계 1.9.1

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{5 x} x^{2}$

단계 1.9.2

$e^{5 x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (A) = x^{2} e^{5 x}$

단계 2

$x^{2} e^{5 x}$ 이 $A$ 에 대해 일정하므로, $x^{2} e^{5 x}$ 를 $A$ 에 대해 미분하면 $x^{2} e^{5 x}$ 입니다.

$f'' (A) = 0$