미적분 예제

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

단계 1.2

$3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ 에서 $x^{- 2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3 x^{5}$ 에서 $x^{- 2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

단계 1.2.2

$- 7 x^{- 2}$ 에서 $x^{- 2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

단계 1.2.3

$x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ 에서 $x^{- 2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

단계 1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

단계 1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

단계 1.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

단계 1.5

$f (x) = 3 x^{7} - 7$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 1.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

${(x^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

단계 1.6.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.6.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{7} - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.6.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{7}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 입니다.

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.6.4

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.6.5

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.6.6

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.6.7

$21 x^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.7

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.7.3

$6$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.8

$x^{10}$ 의 왼쪽으로 $21$ 이동하기

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.9

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

단계 1.10

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

단계 1.10.2

$21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.2.1

$21 x^{10}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

단계 1.10.2.2

$- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

단계 1.10.2.3

$x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

단계 1.11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.1

$x^{8}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

단계 1.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

단계 1.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

단계 1.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

단계 1.12.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.2.1.1

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

단계 1.12.2.1.2

$- 4$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

단계 1.12.2.2

$21 x^{7}$ 에서 $12 x^{7}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = 9 x^{7} + 28$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $9 x^{7} + 28$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.2.3

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{7}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 입니다.

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.2.4

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.2.5

$7$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.2.6

$28$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $28$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $28$ 입니다.

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.2.7

$63 x^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.3

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.3.3

$6$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.4

$x^{11}$ 의 왼쪽으로 $63$ 이동하기

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 2.5

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

단계 2.6

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

단계 2.6.2

$63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$63 x^{11}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

단계 2.6.2.2

$- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

단계 2.6.2.3

$x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

단계 2.7

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$x^{10}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

단계 2.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

단계 2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

단계 2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

단계 2.8.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1.1

$9$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

단계 2.8.2.1.2

$- 5$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

단계 2.8.2.2

$63 x^{7}$ 에서 $45 x^{7}$ 을 뺍니다.

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

단계 2.8.3

$18 x^{7} - 140$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.3.1

$18 x^{7}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

단계 2.8.3.2

$- 140$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

단계 2.8.3.3

$2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$