미적분 예제

$y = 4 \tan (2 x) - \sin^{3} (5 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 \tan (2 x) - \sin^{3} (5 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 \tan (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \tan (2 x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.2.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$4 (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$4 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.6

$\sec^{2} (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.2.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sin^{3} (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin^{3} (5 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$ 입니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$

단계 1.3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

단계 1.3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

단계 1.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

단계 1.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 1.3.3.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 1.3.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 1.3.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

단계 1.3.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

단계 1.3.7

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$8 \sec^{2} (2 x) - (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

단계 1.3.8

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))$

단계 1.3.9

$15$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 \sec^{2} (2 x) - 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 8 \sec^{2} (2 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 8 \sec^{2} (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ 의 미분은 $- 15 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]$ 입니다.

$- 15 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = \sin^{2} (5 x)$ , $g (x) = \cos (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.7

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.7.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.7.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.8

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.10

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.11

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 15 (\sin^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.12

지수를 더하여 $\sin^{2} (5 x)$ 에 $\sin (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.12.1

$\sin (5 x)$ 를 옮깁니다.

$- 15 (\sin (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.12.2

$\sin (5 x)$ 에 $\sin^{2} (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.12.2.1

$\sin (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 15 (\sin^{1} (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.12.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 15 ({\sin (5 x)}^{1 + 2} \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.12.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 15 (\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.13

$\sin^{3} (5 x)$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$- 15 (- 5 \cdot \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.14

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.15

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (2 \sin (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.16

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) (10 \sin (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.17

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.18

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.2.20

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [8 \sec^{2} (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 \sec^{2} (2 x)$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ 입니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ 는 $n {u_{4}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 u_{4} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 2.3.2.3

$u_{4}$ 를 모두 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

단계 2.3.3

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{5}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 2.3.3.2

$\sec (u_{5})$ 를 $u_{5}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ 입니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 2.3.3.3

$u_{5}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 2.3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

단계 2.3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

단계 2.3.7

$\sec (2 x) \tan (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (2 \sec (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

단계 2.3.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

단계 2.3.9

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x))$

단계 2.3.10

$\sec (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \tan (2 x))$

단계 2.3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x))$

단계 2.3.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 8 (4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x))$

단계 2.3.13

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 15 (- 5 \sin^{3} (5 x)) - 15 (10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$- 5$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$75 \sin^{3} (5 x) - 15 (10 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

단계 2.4.2.2

$10$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$75 \sin^{3} (5 x) - 150 \sin (5 x) \cos^{2} (5 x) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.4

$32$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ 을 묶습니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.5

$\tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.6

조합합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.7

지수를 더하여 $\cos^{2} (2 x)$ 에 $\cos (2 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.7.1

$\cos^{2} (2 x)$ 에 $\cos (2 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.7.1.1

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.4.7.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.1

$\cos^{3} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.5.2

분수를 나눕니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.5.3

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 을 $\tan (2 x)$ 로 변환합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.5.4

$1$ 을 곱합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{\cos^{2} (2 x) \cdot 1} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.5.5

분수를 나눕니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.5.6

$\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ 을 $\sec^{2} (2 x)$ 로 변환합니다.

$- 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \frac{32}{1} \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$

단계 2.4.5.7

$32$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = - 150 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + 32 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 75 \sin^{3} (5 x)$