미적분 예제

$y = \sin (x) + \tan (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 1.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 2.3.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

단계 2.3.3

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

단계 2.3.4

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

단계 2.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

단계 2.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.2.4

$2$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.2.5

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

단계 2.4.2.6

조합합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

단계 2.4.2.7

지수를 더하여 $\cos^{2} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.7.1

$\cos^{2} (x)$ 에 $\cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.7.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

단계 2.4.2.7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

단계 2.4.2.7.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

단계 2.4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.4.3.1

$\cos^{3} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

단계 2.4.3.2

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

단계 2.4.3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.3.4

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.3.5

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.3.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\sec^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

단계 2.4.3.7

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$