미적분 예제

$y = 5 t {(3 t + 2)}^{4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t {(3 t + 2)}^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 2)}^{4}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 2)}^{4}]$

단계 1.2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(3 t + 2)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{4}] + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.3

$f (t) = t^{4}$ , $g (t) = 3 t + 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 t + 2$ 로 바꿉니다.

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $3 t + 2$ 로 바꿉니다.

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

합의 법칙에 의해 $3 t + 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ 가 됩니다.

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4.5

$2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 + 0)) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} \cdot 3) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4.6.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4} \cdot 1)$

단계 1.4.8

${(3 t + 2)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3})) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

단계 1.5.2

$12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$60 (t ({(3 t + 2)}^{3})) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

단계 1.5.3

$60 t {(3 t + 2)}^{3} + 5 {(3 t + 2)}^{4}$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.3.1

$60 t {(3 t + 2)}^{3}$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

단계 1.5.3.2

$5 {(3 t + 2)}^{4}$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{3} (3 t + 2)$

단계 1.5.3.3

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{3} (3 t + 2)$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t + 3 t + 2)$

단계 1.5.4

$12 t$ 를 $3 t$ 에 더합니다.

$f' (t) = 5 {(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 {(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)]$

단계 2.2

$f (t) = {(3 t + 2)}^{3}$ , $g (t) = 15 t + 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 ({(3 t + 2)}^{3} \frac{d}{d t} [15 t + 2] + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $15 t + 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [2]$ 가 됩니다.

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (\frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.3.2

$15$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $15 t$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.3.4

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.3.5

$2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 + 0) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$15$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 ({(3 t + 2)}^{3} \cdot 15 + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.3.6.2

${(3 t + 2)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$5 (15 \cdot {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

단계 2.4

$f (t) = t^{3}$ , $g (t) = 3 t + 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 t + 2$ 로 바꿉니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

단계 2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $3 t + 2$ 로 바꿉니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (3 {(3 t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

$15 t + 2$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 \cdot (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2])$

단계 2.5.2

합의 법칙에 의해 $3 t + 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ 가 됩니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]))$

단계 2.5.3

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))$

단계 2.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]))$

단계 2.5.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [2]))$

단계 2.5.6

$2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 + 0))$

단계 2.5.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.7.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} \cdot 3)$

단계 2.5.7.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 9 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2})$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3}) + 5 ((9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

단계 2.6.3

$15$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

단계 2.6.4

$15$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((135 t + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

단계 2.6.5

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2})$

단계 2.6.6

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.6.6.1

$75 {(3 t + 2)}^{3}$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$

단계 2.6.6.2

$5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 {(3 t + 2)}^{2} (135 t + 18)$

단계 2.6.6.3

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 {(3 t + 2)}^{2} (135 t + 18)$ 에서 $5 {(3 t + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.7

${(3 t + 2)}^{2}$ 을 $(3 t + 2) (3 t + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 ((3 t + 2) (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 t + 2) (3 t + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (3 t (3 t + 2) + 2 (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (3 t (3 t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (3 t (3 t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.9.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5 (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9.1.2

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.9.1.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$5 (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9.1.2.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$5 (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (9 t^{2} + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9.1.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (9 t^{2} + 6 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9.1.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (9 t^{2} + 6 t + 6 t + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9.1.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (9 t^{2} + 6 t + 6 t + 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.9.2

$6 t$ 를 $6 t$ 에 더합니다.

$5 (9 t^{2} + 12 t + 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.10

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 (9 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.11.1

$9$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(45 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.11.2

$12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(45 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.11.3

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

단계 2.6.12

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (15 (3 t) + 15 \cdot 2 + 135 t + 18)$

단계 2.6.12.2

$3$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (45 t + 15 \cdot 2 + 135 t + 18)$

단계 2.6.12.3

$15$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (45 t + 30 + 135 t + 18)$

단계 2.6.13

$45 t$ 를 $135 t$ 에 더합니다.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 30 + 18)$

단계 2.6.14

$30$ 를 $18$ 에 더합니다.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 48)$

단계 2.6.15

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 48)$ 를 전개합니다.

$45 t^{2} (180 t) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.16.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$45 \cdot 180 t^{2} t + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.2

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.16.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$45 \cdot 180 (t \cdot t^{2}) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.2.2

$t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.16.2.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$45 \cdot 180 (t^{1} t^{2}) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$45 \cdot 180 t^{1 + 2} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$45 \cdot 180 t^{3} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.3

$45$ 에 $180$ 을 곱합니다.

$8100 t^{3} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.4

$48$ 에 $45$ 을 곱합니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 t \cdot t + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.6

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.16.6.1

$t$ 를 옮깁니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 (t \cdot t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.6.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 t^{2} + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.7

$60$ 에 $180$ 을 곱합니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.8

$48$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.9

$180$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 20 \cdot 48$

단계 2.6.16.10

$20$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 960$

단계 2.6.17

$2160 t^{2}$ 를 $10800 t^{2}$ 에 더합니다.

$8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 960$

단계 2.6.18

$2880 t$ 를 $3600 t$ 에 더합니다.

$f'' (t) = 8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 6480 t + 960$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 6480 t + 960$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8100 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [8100 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.2

$\frac{d}{d t} [8100 t^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$8100$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $8100 t^{3}$ 의 미분은 $8100 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$8100 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8100 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.2.3

$3$ 에 $8100$ 을 곱합니다.

$24300 t^{2} + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.3

$\frac{d}{d t} [12960 t^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$12960$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $12960 t^{2}$ 의 미분은 $12960 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$24300 t^{2} + 12960 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24300 t^{2} + 12960 (2 t) + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.3.3

$2$ 에 $12960$ 을 곱합니다.

$24300 t^{2} + 25920 t + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.4

$\frac{d}{d t} [6480 t]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$6480$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $6480 t$ 의 미분은 $6480 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.4.3

$6480$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 + \frac{d}{d t} [960]$

단계 3.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$960$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $960$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $960$ 입니다.

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 + 0$

단계 3.5.2

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (t) = 24300 t^{2} + 25920 t + 6480$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $24300 t^{2} + 25920 t + 6480$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [24300 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [24300 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

단계 4.2

$\frac{d}{d t} [24300 t^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$24300$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $24300 t^{2}$ 의 미분은 $24300 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$24300 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

단계 4.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24300 (2 t) + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

단계 4.2.3

$2$ 에 $24300$ 을 곱합니다.

$48600 t + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

단계 4.3

$\frac{d}{d t} [25920 t]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$25920$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $25920 t$ 의 미분은 $25920 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$48600 t + 25920 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6480]$

단계 4.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$48600 t + 25920 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6480]$

단계 4.3.3

$25920$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$48600 t + 25920 + \frac{d}{d t} [6480]$

단계 4.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$6480$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $6480$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $6480$ 입니다.

$48600 t + 25920 + 0$

단계 4.4.2

$48600 t + 25920$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (t) = 48600 t + 25920$