미적분 예제

$y = \sqrt[32]{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[32]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{32}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{32}}]$

단계 1.2

$n = \frac{1}{32}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{32} x^{\frac{1}{32} - 1}$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{32}{32}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{32} x^{\frac{1}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}}$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{32}{32}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} x^{\frac{1}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}}$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{32} x^{\frac{1 - 1 \cdot 32}{32}}$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{32} x^{\frac{1 - 32}{32}}$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{32} x^{\frac{- 31}{32}}$

단계 1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{32} x^{- \frac{31}{32}}$

단계 1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}$

단계 1.8.2

$\frac{1}{32}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{32 x^{\frac{31}{32}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{32}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{32 x^{\frac{31}{32}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}]$ 입니다.

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}$ 을 ${(x^{\frac{31}{32}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{31}{32}})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{31}{32}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{\frac{31}{32} \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$\frac{31}{32} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$\frac{31}{32}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{\frac{31 \cdot - 1}{32}}]$

단계 2.2.2.2.2

$31$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 31}{32}}]$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{31}{32}}]$

단계 2.3

$n = - \frac{31}{32}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{31}{32} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{32}{32}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{31}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{32}{32}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{31}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{\frac{- 31 - 1 \cdot 32}{32}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{\frac{- 31 - 32}{32}})$

단계 2.7.2

$- 31$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{\frac{- 63}{32}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{63}{32}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{63}{32}}$ 와 $\frac{31}{32}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} (- \frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{32})$

단계 2.10

$\frac{1}{32}$ 에 $\frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{32}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{32 \cdot 32}$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$32$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{1024}$

단계 2.11.2

$x^{- \frac{63}{32}}$ 의 왼쪽으로 $31$ 이동하기

$- \frac{31 \cdot x^{- \frac{63}{32}}}{1024}$

단계 2.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{63}{32}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{31}{1024 x^{\frac{63}{32}}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- \frac{31}{1024}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{31}{1024 x^{\frac{63}{32}}}$ 의 미분은 $- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{63}{32}}}]$ 입니다.

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{63}{32}}}]$

단계 3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{63}{32}}}$ 을 ${(x^{\frac{63}{32}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{63}{32}})}^{- 1}]$

단계 3.2.2

${(x^{\frac{63}{32}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{\frac{63}{32} \cdot - 1}]$

단계 3.2.2.2

$\frac{63}{32} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$\frac{63}{32}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{\frac{63 \cdot - 1}{32}}]$

단계 3.2.2.2.2

$63$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 63}{32}}]$

단계 3.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{63}{32}}]$

단계 3.3

$n = - \frac{63}{32}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{63}{32} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{32}{32}$ 을 곱합니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{63}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{32}{32}$ 을 묶습니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{63}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{\frac{- 63 - 1 \cdot 32}{32}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{\frac{- 63 - 32}{32}})$

단계 3.7.2

$- 63$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{\frac{- 95}{32}})$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{95}{32}})$

단계 3.9

$x^{- \frac{95}{32}}$ 와 $\frac{63}{32}$ 을 묶습니다.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32})$

단계 3.10

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{31}{1024}) \frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32}$

단계 3.10.2

$\frac{31}{1024}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{31}{1024} \cdot \frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32}$

단계 3.11

$\frac{31}{1024}$ 에 $\frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32}$ 을 곱합니다.

$\frac{31 (x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63)}{1024 \cdot 32}$

단계 3.12

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$63$ 에 $31$ 을 곱합니다.

$\frac{1953 x^{- \frac{95}{32}}}{1024 \cdot 32}$

단계 3.12.2

$1024$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{1953 x^{- \frac{95}{32}}}{32768}$

단계 3.12.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{95}{32}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f''' (x) = \frac{1953}{32768 x^{\frac{95}{32}}}$