미적분 예제

$g (t) = \sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \sec (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (t)$ 로 바꿉니다.

$2 \sec (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$2 \sec (t) (\sec (t) \tan (t)) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2.3

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{1} (t) \sec (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2.4

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {\sec (t)}^{1 + 1} \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \tan^{2} (t)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$ 입니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$

단계 1.3.2

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \tan (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\tan (t)$ 로 바꿉니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

단계 1.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

단계 1.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (t)$ 로 바꿉니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

단계 1.3.3

$\tan (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (t)$ 입니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \sec^{2} (t))$

단계 1.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$

단계 1.4

항을 묶습니다.

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단계 1.4.1

$- 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \sec^{2} (t) \tan (t)$

단계 1.4.2

$2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ 에서 $2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ 을 뺍니다.

$f' (t) = 0$

단계 2

$0$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$f'' (t) = 0$

단계 3

$g (t)$ 의 $t$ 에 대한 2차 도함수는 $0$ 입니다.

$0$