미적분 예제

$g (x) = \frac{3 e^{x}}{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 e^{x}}{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 1.4.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.4.2.2

$3$ 와 $\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (x e^{x} - e^{x})}{x^{2}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (- e^{x})}{x^{2}}$

단계 1.5.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x e^{x} - 3 e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 e^{x} x - 3 e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.5.4

$3 e^{x} x - 3 e^{x}$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.4.1

$3 e^{x} x$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x} (x) - 3 e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.5.4.2

$- 3 e^{x}$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)}{x^{2}}$

단계 1.5.4.3

$3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x} (x - 1)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2.3

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.5.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.5.4.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.7

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.7.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

단계 2.7.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

단계 2.7.2.2

$x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.7.2.2.1

$x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

단계 2.7.2.2.2

$- 2 e^{x} (x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

단계 2.7.2.2.3

$x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

단계 2.8

공약수로 약분합니다.

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단계 2.8.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.8.2

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.8.3

수식을 다시 씁니다.

$3 \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

단계 2.9

$3$ 와 $\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

단계 2.10

간단히 합니다.

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단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

단계 2.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

단계 2.10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

단계 2.10.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

단계 2.10.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.10.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

단계 2.10.5.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

단계 2.10.5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

단계 2.10.5.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

단계 2.10.5.1.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 (e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

단계 2.10.5.1.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 3 (2 e^{x})}{x^{3}}$

단계 2.10.5.1.6

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.10.5.2

$3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.10.5.2.1

$3 x e^{x}$ 에서 $3 x e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{2} e^{x} + 0 - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.10.5.2.2

$3 x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.10.5.3

$3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.10.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.10.7

$3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.10.7.1

$3 e^{x} x^{2}$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.10.7.2

$- 6 e^{x} x$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 6 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.10.7.3

$6 e^{x}$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

단계 2.10.7.4

$3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x)$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

단계 2.10.7.5

$3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)$ 에서 $3 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$

단계 3

$g (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$ 입니다.

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$