미적분 예제

$h (x) = {(x^{14} - 3)}^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{14} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{14} - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{14} - 3]$

단계 1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{14} - 3]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{14} - 3$ 로 바꿉니다.

$3 {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{14} - 3]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{14} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$3 {(x^{14} - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.2.2

$n = 14$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x^{14} - 3)}^{2} (14 x^{13} + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 1.2.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$3 {(x^{14} - 3)}^{2} (14 x^{13} + 0)$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$14 x^{13}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(x^{14} - 3)}^{2} (14 x^{13})$

단계 1.2.4.2

$14$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$42 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{13}$

단계 1.2.4.3

$42 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{13}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 42 x^{13} {(x^{14} - 3)}^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$42$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $42 x^{13} {(x^{14} - 3)}^{2}$ 의 미분은 $42 \frac{d}{d x} [x^{13} {(x^{14} - 3)}^{2}]$ 입니다.

$42 \frac{d}{d x} [x^{13} {(x^{14} - 3)}^{2}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{13}$ , $g (x) = {(x^{14} - 3)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 (x^{13} \frac{d}{d x} [{(x^{14} - 3)}^{2}] + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{14} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{14} - 3$ 로 바꿉니다.

$42 (x^{13} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{14} - 3]) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 (x^{13} (2 u \frac{d}{d x} [x^{14} - 3]) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{14} - 3$ 로 바꿉니다.

$42 (x^{13} (2 (x^{14} - 3) \frac{d}{d x} [x^{14} - 3]) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{14} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$42 (x^{13} (2 (x^{14} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.4.2

$n = 14$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 (x^{13} (2 (x^{14} - 3) (14 x^{13} + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.4.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$42 (x^{13} (2 (x^{14} - 3) (14 x^{13} + 0)) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.4.1

$14 x^{13}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$42 (x^{13} (2 (x^{14} - 3) (14 x^{13})) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.4.4.2

$14$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$42 (x^{13} (28 (x^{14} - 3) x^{13}) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.5

지수를 더하여 $x^{13}$ 에 $x^{13}$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.1

$x^{13}$ 를 옮깁니다.

$42 (x^{13} x^{13} (28 (x^{14} - 3)) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$42 (x^{13 + 13} (28 (x^{14} - 3)) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.5.3

$13$ 를 $13$ 에 더합니다.

$42 (x^{26} (28 (x^{14} - 3)) + {(x^{14} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{13}])$

단계 2.6

$n = 13$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 (x^{26} (28 (x^{14} - 3)) + {(x^{14} - 3)}^{2} (13 x^{12}))$

단계 2.7

${(x^{14} - 3)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $13$ 이동하기

$42 (x^{26} (28 (x^{14} - 3)) + 13 \cdot {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$42 (x^{26} (28 x^{14} + 28 \cdot - 3) + 13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$42 (x^{26} (28 x^{14}) + x^{26} (28 \cdot - 3) + 13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$42 (x^{26} (28 x^{14})) + 42 (x^{26} (28 \cdot - 3)) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.4.1

지수를 더하여 $x^{26}$ 에 $x^{14}$ 을 곱합니다.

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단계 2.8.4.1.1

$x^{14}$ 를 옮깁니다.

$42 (x^{14} x^{26} \cdot 28) + 42 (x^{26} (28 \cdot - 3)) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$42 (x^{14 + 26} \cdot 28) + 42 (x^{26} (28 \cdot - 3)) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.1.3

$14$ 를 $26$ 에 더합니다.

$42 (x^{40} \cdot 28) + 42 (x^{26} (28 \cdot - 3)) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.2

$x^{40}$ 의 왼쪽으로 $28$ 이동하기

$42 (28 \cdot x^{40}) + 42 (x^{26} (28 \cdot - 3)) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.3

$28$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$1176 x^{40} + 42 (x^{26} (28 \cdot - 3)) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.4

$28$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$1176 x^{40} + 42 (x^{26} \cdot - 84) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.5

$x^{26}$ 의 왼쪽으로 $- 84$ 이동하기

$1176 x^{40} + 42 (- 84 \cdot x^{26}) + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.6

$- 84$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 42 (13 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12})$

단계 2.8.4.7

$13$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 {(x^{14} - 3)}^{2} x^{12}$

단계 2.8.5

항을 다시 정렬합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} {(x^{14} - 3)}^{2}$

단계 2.8.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.1

${(x^{14} - 3)}^{2}$ 을 $(x^{14} - 3) (x^{14} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} ((x^{14} - 3) (x^{14} - 3))$

단계 2.8.6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{14} - 3) (x^{14} - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{14} (x^{14} - 3) - 3 (x^{14} - 3))$

단계 2.8.6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{14} x^{14} + x^{14} \cdot - 3 - 3 (x^{14} - 3))$

단계 2.8.6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{14} x^{14} + x^{14} \cdot - 3 - 3 x^{14} - 3 \cdot - 3)$

단계 2.8.6.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.3.1.1

지수를 더하여 $x^{14}$ 에 $x^{14}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{14 + 14} + x^{14} \cdot - 3 - 3 x^{14} - 3 \cdot - 3)$

단계 2.8.6.3.1.1.2

$14$ 를 $14$ 에 더합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{28} + x^{14} \cdot - 3 - 3 x^{14} - 3 \cdot - 3)$

단계 2.8.6.3.1.2

$x^{14}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{28} - 3 \cdot x^{14} - 3 x^{14} - 3 \cdot - 3)$

단계 2.8.6.3.1.3

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{28} - 3 x^{14} - 3 x^{14} + 9)$

단계 2.8.6.3.2

$- 3 x^{14}$ 에서 $3 x^{14}$ 을 뺍니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} (x^{28} - 6 x^{14} + 9)$

단계 2.8.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{12} x^{28} + 546 x^{12} (- 6 x^{14}) + 546 x^{12} \cdot 9$

단계 2.8.6.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.5.1

지수를 더하여 $x^{12}$ 에 $x^{28}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.5.1.1

$x^{28}$ 를 옮깁니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 (x^{28} x^{12}) + 546 x^{12} (- 6 x^{14}) + 546 x^{12} \cdot 9$

단계 2.8.6.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{28 + 12} + 546 x^{12} (- 6 x^{14}) + 546 x^{12} \cdot 9$

단계 2.8.6.5.1.3

$28$ 를 $12$ 에 더합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{40} + 546 x^{12} (- 6 x^{14}) + 546 x^{12} \cdot 9$

단계 2.8.6.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{40} + 546 \cdot - 6 x^{12} x^{14} + 546 x^{12} \cdot 9$

단계 2.8.6.5.3

$9$ 에 $546$ 을 곱합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{40} + 546 \cdot - 6 x^{12} x^{14} + 4914 x^{12}$

단계 2.8.6.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.6.1

지수를 더하여 $x^{12}$ 에 $x^{14}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.6.6.1.1

$x^{14}$ 를 옮깁니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{40} + 546 \cdot - 6 (x^{14} x^{12}) + 4914 x^{12}$

단계 2.8.6.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{40} + 546 \cdot - 6 x^{14 + 12} + 4914 x^{12}$

단계 2.8.6.6.1.3

$14$ 를 $12$ 에 더합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{40} + 546 \cdot - 6 x^{26} + 4914 x^{12}$

단계 2.8.6.6.2

$546$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$1176 x^{40} - 3528 x^{26} + 546 x^{40} - 3276 x^{26} + 4914 x^{12}$

단계 2.8.7

$1176 x^{40}$ 를 $546 x^{40}$ 에 더합니다.

$1722 x^{40} - 3528 x^{26} - 3276 x^{26} + 4914 x^{12}$

단계 2.8.8

$- 3528 x^{26}$ 에서 $3276 x^{26}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 1722 x^{40} - 6804 x^{26} + 4914 x^{12}$

단계 3

$h (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $1722 x^{40} - 6804 x^{26} + 4914 x^{12}$ 입니다.

$1722 x^{40} - 6804 x^{26} + 4914 x^{12}$