미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2} + 5 x$ , $g (x) = 25 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.6

합의 법칙에 의해 $25 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.7

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.10

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.10.2

$x^{2} + 5 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.2.12

$x^{2} + 5 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot (x^{2} + 5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ 를 전개합니다.

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단계 1.3.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1.2.1

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.2

$25$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.3.1.2.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.2.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.1.5

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.2

$50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.3.2.1

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.2.2

$50 x + 125 - 5 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.3.3

$- 5 x^{2}$ 를 $10 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$5 x^{2} + 50 x + 125$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.5.1.1

$5 x^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.2

$50 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.3

$125$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4

$5 x^{2} + 5 (10 x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.5

$5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.3.5.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

단계 1.3.5.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.5.2.4

$a = x$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 1.3.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

단계 1.3.6.2

$- x^{2}$ 와 $5^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

단계 1.3.6.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

단계 1.3.6.4

$(5 + x) (5 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

단계 1.3.7

${(x + 5)}^{2}$ 및 ${(5 + x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.7.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

단계 1.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

단계 1.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ 을 ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \frac{d}{d x} [{({(5 - x)}^{2})}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{- 2}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = 5 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 - x$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $5 - x$ 로 바꿉니다.

$5 (- 2 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 10 ({(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $5 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.3.3

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.6

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 {(5 - x)}^{- 3} \cdot 1$

단계 2.3.8

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 {(5 - x)}^{- 3}$

단계 2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$10 \frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$10$ 와 $\frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{10}{{(5 - x)}^{3}}$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$