미적분 예제

$V (t) = A e^{k t} \sin (b t)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$A$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $A e^{k t} \sin (b t)$ 의 미분은 $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ 입니다.

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

단계 1.2

$f (t) = e^{k t}$ , $g (t) = \sin (b t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 1.3

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = b t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $b t$ 로 바꿉니다.

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 1.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 1.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $b t$ 로 바꿉니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

$b$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $b t$ 의 미분은 $b \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 1.4.3

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 1.5

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = k t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $k t$ 로 바꿉니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

단계 1.5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

단계 1.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $k t$ 로 바꿉니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

단계 1.6

미분합니다.

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단계 1.6.1

$k$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $k t$ 의 미분은 $k \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

단계 1.6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

단계 1.6.3

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 1.7

간단히 합니다.

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단계 1.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 1.7.2

괄호를 제거합니다.

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

단계 1.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

단계 1.7.4

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (t) = A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$A b$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $A b e^{k t} \cos (b t)$ 의 미분은 $A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)]$ 입니다.

$A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.2

$f (t) = e^{k t}$ , $g (t) = \cos (b t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A b (e^{k t} \frac{d}{d t} [\cos (b t)] + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.3

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = b t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $b t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $b t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.4

$b$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $b t$ 의 미분은 $b \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.6

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = k t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $k t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $k t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.7

$k$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $k t$ 의 미분은 $k \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.9

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.2.10

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$A k$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $A k e^{k t} \sin (b t)$ 의 미분은 $A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ 입니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

단계 2.3.2

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 2.3.3

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = b t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $b t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 2.3.3.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 2.3.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $b t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 2.3.4

$b$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $b t$ 의 미분은 $b \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

단계 2.3.6

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = k t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $k t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

단계 2.3.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ 은 $a^{u_{4}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} [k t]))$

단계 2.3.6.3

$u_{4}$ 를 모두 $k t$ 로 바꿉니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

단계 2.3.7

$k$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $k t$ 의 미분은 $k \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

단계 2.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

단계 2.3.9

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

단계 2.3.10

$k$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$A (b^{1} b) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 2.4.3.2

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$A (b^{1} b^{1}) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 2.4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$A b^{1 + 1} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 2.4.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

단계 2.4.3.5

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k) (\sin (b t) (e^{k t}))$

단계 2.4.3.6

$k$ 를 $1$ 승 합니다.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k^{1}) (\sin (b t) (e^{k t}))$

단계 2.4.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{1 + 1} (\sin (b t) (e^{k t}))$

단계 2.4.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

단계 2.4.3.9

$k$ 와 $b$ 을 다시 정렬합니다.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + b k A e^{k t} \cos (b t) + b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

단계 2.4.3.10

$b k A e^{k t} \cos (b t)$ 를 $b k A e^{k t} \cos (b t)$ 에 더합니다.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + 2 b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

단계 2.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$

단계 2.4.5

$- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (t) = - b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$

단계 3

$V (t)$ 의 $t$ 에 대한 2차 도함수는 $- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$ 입니다.

$- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$