미적분 예제

$f (x) = e^{a x} \sin (b x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{a x}$ , $g (x) = \sin (b x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (b x)] + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 1.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = b x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $b x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$e^{a x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $b x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b x$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{a x} (\cos (b x) (b \frac{d}{d x} [x])) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 1.3.3

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

단계 1.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])$

단계 1.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])$

단계 1.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])$

단계 1.5

미분합니다.

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단계 1.5.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} (a \cdot 1))$

단계 1.5.3

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} a)$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{a x} b \cos (b x) + e^{a x} a \sin (b x)$

단계 1.6.2

$e^{a x} b \cos (b x) + e^{a x} a \sin (b x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = b e^{a x} \cos (b x) + a e^{a x} \sin (b x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $b e^{a x} \cos (b x) + a e^{a x} \sin (b x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [b e^{a x} \cos (b x)] + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [b e^{a x} \cos (b x)] + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [b e^{a x} \cos (b x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b e^{a x} \cos (b x)$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [e^{a x} \cos (b x)]$ 입니다.

$b \frac{d}{d x} [e^{a x} \cos (b x)] + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = e^{a x}$ , $g (x) = \cos (b x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b (e^{a x} \frac{d}{d x} [\cos (b x)] + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = b x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $b x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [b x]) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$b (e^{a x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [b x]) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $b x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) \frac{d}{d x} [b x]) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.4

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b x$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \frac{d}{d x} [x])) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.7

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) (b \cdot 1)) + \cos (b x) (e^{a x} (a \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.9

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} (a \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.2.10

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + \frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [a e^{a x} \sin (b x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a e^{a x} \sin (b x)$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [e^{a x} \sin (b x)]$ 입니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a \frac{d}{d x} [e^{a x} \sin (b x)]$

단계 2.3.2

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (b x)] + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

단계 2.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = b x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $b x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

단계 2.3.3.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

단계 2.3.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $b x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d x} [b x]) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

단계 2.3.4

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b x$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \frac{d}{d x} [x])) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) \frac{d}{d x} [e^{a x}])$

단계 2.3.6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [a x]))$

단계 2.3.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ 은 $a^{u_{4}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [a x]))$

단계 2.3.6.3

$u_{4}$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x]))$

단계 2.3.7

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x])))$

단계 2.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) (b \cdot 1)) + \sin (b x) (e^{a x} (a \cdot 1)))$

단계 2.3.9

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} (a \cdot 1)))$

단계 2.3.10

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b) + \cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} a))$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b)) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b) + \sin (b x) (e^{a x} a))$

단계 2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$b (e^{a x} (- \sin (b x) b)) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

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단계 2.4.3.1

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$b^{1} b (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

단계 2.4.3.2

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$b^{1} b^{1} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

단계 2.4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$b^{1 + 1} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

단계 2.4.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a (\sin (b x) (e^{a x} a))$

단계 2.4.3.5

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{1} a (\sin (b x) (e^{a x}))$

단계 2.4.3.6

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{1} a^{1} (\sin (b x) (e^{a x}))$

단계 2.4.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{1 + 1} (\sin (b x) (e^{a x}))$

단계 2.4.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + b (\cos (b x) (e^{a x} a)) + a (e^{a x} (\cos (b x) b)) + a^{2} (\sin (b x) (e^{a x}))$

단계 2.4.3.9

$e^{a x}$ 를 옮깁니다.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + a b e^{a x} \cos (b x) + a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} (\sin (b x) (e^{a x}))$

단계 2.4.3.10

$a b e^{a x} \cos (b x)$ 를 $a b e^{a x} \cos (b x)$ 에 더합니다.

$b^{2} (e^{a x} (- \sin (b x))) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} (\sin (b x) (e^{a x}))$

단계 2.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{a x} b^{2} \sin (b x) + 2 e^{a x} a b \cos (b x) + e^{a x} a^{2} \sin (b x)$

단계 2.4.5

$- e^{a x} b^{2} \sin (b x) + 2 e^{a x} a b \cos (b x) + e^{a x} a^{2} \sin (b x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - b^{2} e^{a x} \sin (b x) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} e^{a x} \sin (b x)$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- b^{2} e^{a x} \sin (b x) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} e^{a x} \sin (b x)$ 입니다.

$- b^{2} e^{a x} \sin (b x) + 2 a b e^{a x} \cos (b x) + a^{2} e^{a x} \sin (b x)$