미적분 예제

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ , $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $18 x - \frac{97}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ 가 됩니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.2

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 x$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.4

$18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.5

$- 97$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{97}{x}$ 의 미분은 $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.6

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.7

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.8

$- 1$ 에 $- 97$ 을 곱합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

단계 1.2.9

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} - 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 가 됩니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 1.2.10

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 1.2.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 1.2.12

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 1.2.13

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

단계 1.2.15

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

단계 1.3.2

$97$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

단계 1.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$9$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.2

$- 7$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.4

$9 \frac{97}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.4.1

$9$ 와 $\frac{97}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.4.2

$9$ 에 $97$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.5

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.7

$- 7 \frac{97}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.7.1

$- 7$ 와 $\frac{97}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.7.2

$- 7$ 에 $97$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.8

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.8.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.8.2

공약수로 약분합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.8.3

수식을 다시 씁니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.4.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.3

$18$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.4.4.1

$- \frac{97}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.4.2

$18 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.4.3

공약수로 약분합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.4.4

수식을 다시 씁니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.5

$18$ 에 $- 97$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.6

$18$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

단계 1.3.4.4.7

$- 7 (- \frac{97}{x})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.4.7.1

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

단계 1.3.4.4.7.2

$7$ 와 $\frac{97}{x}$ 을 묶습니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

단계 1.3.4.4.7.3

$7$ 에 $97$ 을 곱합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

단계 1.3.5

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$- \frac{679}{x}$ 를 $\frac{679}{x}$ 에 더합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

단계 1.3.5.2

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

단계 1.3.6

$162 x^{2}$ 를 $324 x^{2}$ 에 더합니다.

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

단계 1.3.7

$- 126 x$ 에서 $126 x$ 을 뺍니다.

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

단계 1.3.8

$873$ 에서 $1746$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $486 x^{2} - 252 x - 873$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$486$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $486 x^{2}$ 의 미분은 $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $486$ 을 곱합니다.

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 252 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 252$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 252 x$ 의 미분은 $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

단계 2.3.3

$- 252$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 873$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 873$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 873$ 입니다.

$972 x - 252 + 0$

단계 2.4.2

$972 x - 252$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 972 x - 252$

단계 3

$y (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $972 x - 252$ 입니다.

$972 x - 252$