미적분 예제

$f (y) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (y) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ , $g (y) = y + 3 y^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) \frac{d}{d y} [y + 3 y^{3}] + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $y + 3 y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]$ 가 됩니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

단계 1.2.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 y^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

단계 1.2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 (3 y^{2})) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

단계 1.2.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

단계 1.2.6

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}]$ 가 됩니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

단계 1.2.7

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 을 ${(y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

단계 1.2.7.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

단계 1.2.7.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

단계 1.2.8

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

단계 1.2.9

$- 5$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- \frac{5}{y^{4}}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ 입니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}])$

단계 1.2.10

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.1

$\frac{1}{y^{4}}$ 을 ${(y^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}])$

단계 1.2.10.2

${(y^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.10.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{4 \cdot - 1}])$

단계 1.2.10.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{- 4}])$

단계 1.2.11

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 (- 4 y^{- 5}))$

단계 1.2.12

$- 4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + 20 y^{- 5})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 y^{- 5})$

단계 1.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

단계 1.3.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{- 2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

단계 1.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

단계 1.3.3.3

$20$ 와 $\frac{1}{y^{5}}$ 을 묶습니다.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}})$

단계 1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1.1

$\frac{1}{y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.2

$- \frac{5}{y^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1.3.1

$9 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.4

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1.4.1

$- \frac{5}{y^{4}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.4.2

$9 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.4.3

$y^{4}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.4.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.4.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 \frac{- 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.5

$9$ 와 $\frac{- 5}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{9 \cdot - 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.6

$9$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 45}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.2.3

$1$ 에서 $45$ 을 뺍니다.

$\frac{- 44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} (y + 3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

단계 1.3.5.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.5.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.5.1.1.1

$- \frac{2}{y^{3}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.1.2

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.3

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.5.1.3.1

$- \frac{2}{y^{3}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.3.2

$3 y^{3}$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 2 \cdot 3 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.5.1.5.1

$y^{5}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

단계 1.3.5.5.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + 3 \frac{20}{y^{5}} y^{3}$

단계 1.3.5.5.1.7

$3 \frac{20}{y^{5}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.5.1.7.1

$3$ 와 $\frac{20}{y^{5}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{3 \cdot 20}{y^{5}} y^{3}$

단계 1.3.5.5.1.7.2

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{5}} y^{3}$

단계 1.3.5.5.1.8

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.5.1.8.1

$y^{5}$ 에서 $y^{3}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

단계 1.3.5.5.1.8.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

단계 1.3.5.5.1.8.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{2}}$

단계 1.3.5.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2 + 60}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

단계 1.3.5.5.3

$- 2$ 를 $60$ 에 더합니다.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{58}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

단계 1.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 - 6 + \frac{- 44 + 58}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

단계 1.3.7

$- 44$ 를 $58$ 에 더합니다.

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

단계 1.3.8

$- 5$ 를 $20$ 에 더합니다.

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

단계 1.3.9

$9$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f' (y) = 3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.1.2

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$14$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{14}{y^{2}}$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 입니다.

$0 + 14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{y^{2}}$ 을 ${(y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + 14 \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.3

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 + 14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.5

${(y^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 + 14 (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 + 14 (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 14 (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 + 14 (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 + 14 (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 + 14 (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.2.10

$- 2$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$0 - 28 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$15$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{15}{y^{4}}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ 입니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{y^{4}}$ 을 ${(y^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}]$

단계 2.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y^{4}$ 로 바꿉니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}])$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

단계 2.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $y^{4}$ 로 바꿉니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

단계 2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3}))$

단계 2.3.5

${(y^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3}))$

단계 2.3.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{- 8} (4 y^{3}))$

단계 2.3.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 8} y^{3})$

단계 2.3.7

지수를 더하여 $y^{- 8}$ 에 $y^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$y^{3}$ 를 옮깁니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 (y^{3} y^{- 8}))$

단계 2.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{3 - 8})$

단계 2.3.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 5})$

단계 2.3.8

$- 4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$0 - 28 y^{- 3} - 60 y^{- 5}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 y^{- 5}$

단계 2.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$- 28$ 와 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

단계 2.4.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

단계 2.4.3.3

$0$ 에서 $\frac{28}{y^{3}}$ 을 뺍니다.

$- \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

단계 2.4.3.4

$- 60$ 와 $\frac{1}{y^{5}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{28}{y^{3}} + \frac{- 60}{y^{5}}$

단계 2.4.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (y) = - \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

단계 3

$f (y)$ 의 $y$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$ 입니다.

$- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$