미적분 예제

$f (x) = 4 \sqrt{1 + x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.8

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 1.10

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.11

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.12

공약수로 약분합니다.

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단계 1.12.1

$2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.13

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.14

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.15

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

단계 1.17

분수를 통분합니다.

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단계 1.17.1

$2$ 와 $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

단계 1.17.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

단계 1.17.3

$\frac{4}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.17.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.3

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

단계 2.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

단계 2.5.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

단계 2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.6.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.11

분수를 통분합니다.

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단계 2.11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.11.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

단계 2.12

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

단계 2.14

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

단계 2.15

분수를 통분합니다.

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단계 2.15.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

단계 2.15.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

단계 2.15.3

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

단계 2.15.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.20

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.21

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.21.1

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

단계 2.21.2

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.21.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.23

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.25

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.25.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.25.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.25.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.25.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$4 \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.26

${(x^{2} + 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$4 \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.27

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.28

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 2.29

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$4 (\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1})$

단계 2.30

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

단계 2.31

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.31.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.31.1.1

$x^{2} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

단계 2.31.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 2.31.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 2.31.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 2.31.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.32

$4$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

단계 3.1.2.2

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

단계 3.1.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

단계 3.1.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

단계 3.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.2.2

$n = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.6.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 (- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.8

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.9.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.10

$\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.11

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.12

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.13

공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.1

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.15

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.17

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

단계 3.18

분수를 통분합니다.

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단계 3.18.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

단계 3.18.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

단계 3.18.3

$- 2$ 와 $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

단계 3.18.4

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

단계 3.18.5

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.18.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 4

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 3차 도함수는 $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$