미적분 예제

$f (x) = 3 a^{3 x}$

단계 1

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단계 1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 a^{3 x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

단계 1.2

$f = a$ , $g = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 1.3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 1.3.2.2

$x$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 1.3.2.3

$0$ 에 $a^{3 x - 1}$ 을 곱합니다.

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 1.3.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 에 더합니다.

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 1.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

단계 1.3.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

단계 1.3.6

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$9 \ln (a)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 a^{3 x} \ln (a)$ 의 미분은 $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 입니다.

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

단계 2.2

$f = a$ , $g = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 2.3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 2.3.2.2

$x$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 2.3.2.3

$0$ 에 $a^{3 x - 1}$ 을 곱합니다.

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 2.3.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 에 더합니다.

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 2.4

$\ln (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

단계 2.5

$\ln (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

단계 2.8

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

단계 2.9

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

단계 2.11

$27$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$27 \ln^{2} (a)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ 의 미분은 $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 입니다.

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

단계 3.2

$f = a$ , $g = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 3.3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 3.3.2.2

$x$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 3.3.2.3

$0$ 에 $a^{3 x - 1}$ 을 곱합니다.

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 3.3.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 에 더합니다.

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 3.4

$\ln (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

단계 3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

단계 3.6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

단계 3.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

단계 3.8

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

단계 3.10

$81$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$81 \ln^{3} (a)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ 의 미분은 $81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 입니다.

$81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

단계 4.2

$f = a$ , $g = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$81 \ln^{3} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 4.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$81 \ln^{3} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 4.3.2.2

$x$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$81 \ln^{3} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 4.3.2.3

$0$ 에 $a^{3 x - 1}$ 을 곱합니다.

$81 \ln^{3} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 4.3.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 에 더합니다.

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

단계 4.4

$\ln (a)$ 를 $1$ 승 합니다.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{3} (a) \ln^{1} (a))))$

단계 4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{3 + 1}))$

단계 4.6

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{4} (a)))$

단계 4.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$81 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

단계 4.8

$3$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$243 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

단계 4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$243 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

단계 4.10

$243$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$ 입니다.

$243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$