미적분 예제

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.2

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 e^{\frac{t}{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.3

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = \frac{t}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.3.3

$u$ 를 모두 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.6

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.7

$e^{\frac{t}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.8

$4$ 와 $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.9

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.9.1

$4 e^{\frac{t}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.2.9.2.4

$2 e^{\frac{t}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.3

$\frac{d}{d t} [- t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

단계 1.4.2

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 e^{\frac{t}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = \frac{t}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.6

$e^{\frac{t}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.7

$2$ 와 $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.8.2

$e^{\frac{t}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

단계 2.3.2

$e^{\frac{t}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = \frac{t}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{\frac{t}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \cdot 1$

단계 3.2.4

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (t) = \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

단계 4.2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = \frac{t}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

단계 4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{t}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$e^{\frac{t}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.3.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.3.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4} \cdot 1$

단계 4.3.5

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (t) = \frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$

단계 5

$P (t)$ 의 $t$ 에 대한 4차 도함수는 $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$ 입니다.

$\frac{e^{\frac{t}{2}}}{4}$