미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} - 7 x - 2$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} - 7 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{3}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.4.3

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x - 7 + 0$

단계 1.5.2

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x - 7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x - 7$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 18 x^{2} + 16 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 18 x^{2}$ 의 미분은 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [16 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 36 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 36 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.4.3

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 36 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$12 x^{2} - 36 x + 16 + 0$

단계 2.5.2

$12 x^{2} - 36 x + 16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + 16$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} - 36 x + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$24 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

단계 3.3.3

$- 36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x - 36 + \frac{d}{d x} [16]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$24 x - 36 + 0$

단계 3.4.2

$24 x - 36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 24 x - 36$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $24 x - 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [24 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 4.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 4.2.3

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 + \frac{d}{d x} [- 36]$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 36$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 36$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 36$ 입니다.

$24 + 0$

단계 4.3.2

$24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 24$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $24$ 입니다.

$24$