미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{5} x^{10}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{3}{5} \cdot {(x + h)}^{10}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

$\frac{3}{5}$ 와 ${(x + h)}^{10}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$ 입니다.

$\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5} - (\frac{3 x^{10}}{5})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

단계 4.1.2

인수분해된 형태로 $\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.2.1

$3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.2.1.1

$3 {(x + h)}^{10}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

단계 4.1.2.1.2

$- 3 x^{10}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})}{5}}{h}$

단계 4.1.2.1.3

$3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ({(x + h)}^{10} - x^{10})}{5}}{h}$

단계 4.1.2.2

${(x + h)}^{10}$ 을 ${({(x + h)}^{5})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - x^{10})}{5}}{h}$

단계 4.1.2.3

$x^{10}$ 을 ${(x^{5})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - {(x^{5})}^{2})}{5}}{h}$

단계 4.1.2.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = {(x + h)}^{5}$ 이고 $b = x^{5}$ 입니다.

$\frac{\frac{3 (({(x + h)}^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.5.1

이항정리 이용

$\frac{\frac{3 ((x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.2

$x^{5}$ 를 $x^{5}$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.3

이항정리 이용

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.4

$x^{5}$ 에서 $x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + 0))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.5

$5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6

$5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.2.5.6.1

$5 x^{4} h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.2

$10 x^{3} h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.3

$10 x^{2} h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.4

$5 x h^{4}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h^{5}))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.5

$h^{5}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.6

$h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.7

$h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.8

$h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

단계 4.1.2.5.6.9

$h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

조합합니다.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

단계 4.4

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

단계 4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5}$

단계 4.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}$

단계 5