미적분 예제

$f (x) = 2 \sin (x)$ , $[0, 2 π]$

단계 1

만약 $f$ 가 $[a, b]$ 구간에서 연속이며 $(a, b)$ 에서 미분가능하면, $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 가 되도록 하는 최소 하나의 실수 $c$ 가 $(a, b)$ 구간에 존재합니다. 평균값 정리는 $x = c$ 에서 곡선의 접선의 기울기와 $(a, f (a))$ 와 $(b, f (b))$ 점을 지나는 직선의 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.

$f (x)$ 가 $[a, b]$ 에서 연속인 경우

그리고 $f (x)$ 가 $(a, b)$ 구간에서 미분가능한 경우,

그러면 $[a, b]$ 에 적어도 하나의 점 $c$ 이 존재합니다: $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

단계 2

$f (x) = 2 \sin (x)$ 가 연속인지 확인합니다.

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단계 2.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2.2

$f (x)$ 는 $[0, 2 π]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 3

도함수를 구합니다.

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단계 3.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f' (x) = 2 \cos (x)$

단계 3.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 \cos (x)$ 입니다.

$2 \cos (x)$

단계 4

도함수가 $(0, 2 π)$ 에서 연속인지 확인합니다.

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단계 4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4.2

$f' (x)$ 는 $(0, 2 π)$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 5

도함수가 $(0, 2 π)$ 에서 연속이므로 이 함수는 $(0, 2 π)$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 6

$f (x)$ 는 중간값 정리의 두 가지 조건을 만족합니다. $[0, 2 π]$ 에서 연속이고 $(0, 2 π)$ 에서 미분가능합니다.

$f (x)$ 는 $[0, 2 π]$ 에서 연속이며 $(0, 2 π)$ 에서 미분가능합니다.

단계 7

$[0, 2 π]$ 구간의 $f (a)$ 를 구합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 2 \sin (0)$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f (0) = 2 \cdot 0$

단계 7.2.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0$

단계 7.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 8

$2 \cos (x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ 를 $x$ 에 대해 풉니다. $2 \cos (x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$ .

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단계 8.1

간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

단계 8.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

단계 8.1.3

공약수를 소거하여 수식 $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 8.1.3.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

단계 8.1.3.2

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

단계 8.1.3.3

$2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

단계 8.1.3.4

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

단계 8.1.3.5

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

단계 8.1.3.6

$2 (π) + 2 (0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

단계 8.1.3.7

공약수로 약분합니다.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

단계 8.1.3.8

수식을 다시 씁니다.

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

단계 8.1.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) = \frac{0}{π + 0}$

단계 8.1.5

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) = \frac{0}{π}$

단계 8.1.6

$0$ 을 $π$ 로 나눕니다.

$2 \cos (x) = 0$

단계 8.2

$2 \cos (x) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$2 \cos (x) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 8.2.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.2.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = 0$

단계 8.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 8.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 8.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 8.6

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 8.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 8.6.2

분수를 통분합니다.

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단계 8.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 8.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 8.6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.6.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 8.6.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 8.7

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 8.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 8.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 8.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 8.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 8.8

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 8.9

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 9

$x = \frac{π}{2} + π n$ 에서 끝점 $a = 0$ 과 $b = 2 π$ 을 지나는 직선에 평행한 접선이 존재합니다.

단계 10