미적분 예제

$f (x) = \frac{5}{6 x - 4}$ , $[2, 5]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{5}{6 x - 4} = 0$

단계 1.2

$\frac{5}{6 x - 4} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$5 = 0$

단계 1.2.2

$5 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$6 x - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{5}{2 (3 x) - 4}$

단계 2.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

단계 2.3

$2 (3 x) + 2 (- 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{5}{2 (3 x - 2)}$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x - \int_{2}^{5} 0 d x$

단계 4

$2$ 과(와) $5$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} - (0) d x$

단계 4.2

$\frac{5}{2 (3 x - 2)}$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x$

단계 4.3

$\frac{5}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{3 x - 2} d x$

단계 4.4

먼저 $u = 3 x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$u = 3 x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.4.1.1

$3 x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

단계 4.4.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.4.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 4.4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.4.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$3 + 0$

단계 4.4.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 4.4.2

$u = 3 x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 2 - 2$

단계 4.4.3

간단히 합니다.

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단계 4.4.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 6 - 2$

단계 4.4.3.2

$6$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 4$

단계 4.4.4

$u = 3 x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 \cdot 5 - 2$

단계 4.4.5

간단히 합니다.

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단계 4.4.5.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 15 - 2$

단계 4.4.5.2

$15$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 13$

단계 4.4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 13$

단계 4.4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u \cdot 3} d u$

단계 4.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{3 u} d u$

단계 4.6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u)$

단계 4.7

간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{5}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

단계 4.7.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

단계 4.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{5}{6} \ln (| u |)]_{4}^{13}$

단계 4.9

$13$ , $4$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{5}{6} (\ln (| 13 |) - \ln (| 4 |))$

단계 4.10

간단히 합니다.

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단계 4.10.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{5}{6} \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$

단계 4.10.2

$\frac{5}{6}$ 와 $\ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})}{6}$

단계 4.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $13$ 사이의 거리는 $13$ 입니다.

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 4 |})}{6}$

단계 4.11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $4$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$

단계 5

$\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$ 영역을 더합니다.

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단계 5.1

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (\frac{13}{4})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({(\frac{13}{4})}^{5})}{6}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{13}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\ln (\frac{13^{5}}{4^{5}})}{6}$

단계 5.2.2

$13$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{\ln (\frac{371293}{4^{5}})}{6}$

단계 5.2.3

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$

단계 5.3

$\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$ 을 $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$

단계 5.4

$\frac{1}{6}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({(\frac{371293}{1024})}^{\frac{1}{6}})$

단계 5.5

$\frac{371293}{1024}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{371293^{\frac{1}{6}}}{1024^{\frac{1}{6}}})$

단계 6