미적분 예제

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

단계 1

임계점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 \sec (x)$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 1.1.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

단계 1.1.2

$g (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 5 \sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

단계 1.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

단계 1.2.3

$\sec (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\sec (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sec (x) = 0$

단계 1.2.3.2

시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $0$ 이 이 영역에 속하지 않으므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 1.2.4

$\tan (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$\tan (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) = 0$

단계 1.2.4.2

$\tan (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (0)$

단계 1.2.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.2.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.2.4.2.3

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + 0$

단계 1.2.4.2.4

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x = π$

단계 1.2.4.2.5

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 1.2.4.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 1.2.4.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 1.2.4.2.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 1.2.4.2.6

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, π + π n$

단계 1.2.5

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, π + π n$

단계 1.2.6

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sec (x)$ 의 진수를 $\frac{π}{2} + π n$ 과 같게 설정해야 합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 1.3.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대한 ${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $- 5 \sec (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$- 5 \sec (0)$

단계 1.4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 5 \cdot 1$

단계 1.4.1.2.2

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5$

단계 1.4.2

$x = π$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 에 $π$ 를 대입합니다.

$- 5 \sec (π)$

단계 1.4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 시컨트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 5 (- \sec (0))$

단계 1.4.2.2.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

단계 1.4.2.2.3

$- 5 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 \cdot - 1$

단계 1.4.2.2.3.2

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 1.4.3

모든 점을 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$

단계 2

구간에 없는 점은 제외합니다.

$(0, - 5), (π, 5)$

단계 3

이계도함수 판정법을 사용하여 최댓값 또는 최솟값이 될 수 있는 점을 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 \sec (x) \tan (x)$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

단계 3.1.2

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 3.1.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 3.1.4

지수를 더하여 $\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$\sec (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 3.1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 3.1.4.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

단계 3.1.5

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

단계 3.1.6

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

단계 3.1.7

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

단계 3.1.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

단계 3.1.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

단계 3.1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

단계 3.1.10.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

단계 3.2

$x$ 에 $0$ 를 대입하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

단계 3.2.2

$\tan (0)$ 의 값을 구합니다.

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

단계 3.2.3

$0$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

단계 3.2.4

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

단계 3.2.5

$\sec (0)$ 의 값을 구합니다.

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

단계 3.2.6

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

단계 3.2.7

$\sec (0)$ 의 값을 구합니다.

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

단계 3.2.8

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 - 5 \cdot 1$

단계 3.2.9

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 5$

단계 3.2.10

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 5$

단계 3.3

이계도함수가 $0$ 에서 음수이므로 최댓값입니다.

$0$ 은 극대값입니다

단계 3.4

$x$ 에 $π$ 를 대입하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x$ 에 $π$ 를 대입합니다.

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

단계 3.4.2

$\tan (π)$ 의 값을 구합니다.

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

단계 3.4.3

$0$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

단계 3.4.4

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

단계 3.4.5

$\sec (π)$ 의 값을 구합니다.

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

단계 3.4.6

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

단계 3.4.7

$\sec (π)$ 의 값을 구합니다.

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

단계 3.4.8

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 - 5 \cdot - 1$

단계 3.4.9

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 5$

단계 3.4.10

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$5$

단계 3.5

이계도함수가 $π$ 에서 양수이므로 최솟값입니다.

$π$ 은 극소값입니다.

단계 3.6

극값 나열하기

$0$ 은 극대값입니다

$π$ 은 극소값입니다.

$0$ 은 극대값입니다

$π$ 은 극소값입니다.

단계 4

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $g (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $g (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $g (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절댓값 최대: $(0, - 5)$

절댓값 최소: $(π, 5)$

단계 5