미적분 예제

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sin (x) \cos (x) + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.8

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.2.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

단계 1.4.2

$- \sin^{2} (x)$ 와 $\cos^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

단계 1.4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (x)$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.5

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1

인수가 항 $\cos (x) (- \sin (x))$ 과(와) $\sin (x) \cos (x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.5.2

$- \cos (x) \sin (x)$ 를 $\cos (x) \sin (x)$ 에 더합니다.

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.5.3

$\cos (x) \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.1

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.6.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.6.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.6.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

단계 1.4.6.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

단계 1.4.6.3

$- \sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.3.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

단계 1.4.6.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

단계 1.4.6.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

단계 1.4.6.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

단계 1.4.7

코사인 배각공식을 적용합니다.

$\cos (2 x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 2.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

단계 2.2.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\cos (2 x) = 0$

단계 4

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arccos (0)$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$2 x = \frac{π}{2}$

단계 6

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 6.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 6.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 6.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 7

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 8

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 8.1.2

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 8.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 8.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 8.1.5

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

단계 8.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 8.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 8.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

단계 8.2.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 9

방정식 $2 x = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

단계 10

$x = \frac{π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

단계 11.1.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

단계 11.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

단계 11.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 11.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 12

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{4}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{4}$ 은 극대값입니다

단계 13

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

단계 13.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

단계 13.2.1.3

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.3.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 13.2.1.3.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 13.2.1.3.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 13.2.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 13.2.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 13.2.1.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

단계 13.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

단계 13.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

단계 13.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

단계 13.2.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

단계 13.2.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

단계 13.2.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

단계 13.2.1.5

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.5.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

단계 13.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

단계 13.2.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

단계 13.2.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

단계 13.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

단계 13.2.3

$7$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

단계 13.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

단계 13.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.5.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

단계 13.2.5.2

$1$ 를 $14$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

단계 13.2.6

최종 답은 $\frac{15}{2}$ 입니다.

$y = \frac{15}{2}$

단계 14

$x = \frac{3 π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

단계 15

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

단계 15.1.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

단계 15.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

단계 15.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

단계 15.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

단계 15.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \cdot - 1$

단계 15.4.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 16

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{3 π}{4}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$ 은 극소값입니다.

단계 17

$x = \frac{3 π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

단계 17.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

단계 17.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

단계 17.2.1.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

단계 17.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

단계 17.2.1.5

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.5.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 17.2.1.5.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 17.2.1.5.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 17.2.1.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 17.2.1.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

단계 17.2.1.5.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

단계 17.2.1.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 17.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

단계 17.2.1.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

단계 17.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

단계 17.2.1.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 17.2.1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

단계 17.2.1.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

단계 17.2.1.6.5

지수값을 계산합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

단계 17.2.1.7

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 17.2.1.7.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

단계 17.2.1.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 17.2.1.7.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

단계 17.2.1.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

단계 17.2.1.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

단계 17.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

단계 17.2.3

$7$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

단계 17.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

단계 17.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.2.5.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

단계 17.2.5.2

$- 1$ 를 $14$ 에 더합니다.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

단계 17.2.6

최종 답은 $\frac{13}{2}$ 입니다.

$y = \frac{13}{2}$

단계 18

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ 은 극댓값임

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ 은 극솟값임

단계 19