미적분 예제

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

단계 1

해당 도함수는 몫의 미분 법칙을 사용하여 풀 수 없습니다. Mathway는 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$- 12 y^{\frac{3}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.2

$\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

단계 4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

단계 4.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ 에 더합니다.

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.5

$12 y^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x y^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6.2

$12$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 6.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

단계 8

${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.2

항을 묶습니다.

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단계 9.2.1

$144$ 와 $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.2.2

$y^{2}$ 와 $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.2.3

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $144$ 이동하기

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

단계 9.4

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$