미적분 예제

$y = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{x}$

단계 1

$f (x) = 8 x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{3}{2}}] - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (8 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8

$8$ 와 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \frac{8 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{x \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 10

$24 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 11

공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 11.4

$12 x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{12 x^{\frac{1 + 2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.2.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.3

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 13.1.1.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

단계 13.1.2

$12 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $8 x^{\frac{3}{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

단계 13.2

항을 묶습니다.

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단계 13.2.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{x^{2} x^{- \frac{3}{2}}}$

단계 13.2.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 13.2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{x^{2 - \frac{3}{2}}}$

단계 13.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

단계 13.2.2.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

단계 13.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

단계 13.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.2.2.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{x^{\frac{4 - 3}{2}}}$

단계 13.2.2.5.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$