미적분 예제

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

단계 1

$f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $8 x^{6} - 6 x^{8}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 3

$\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{6}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 3.3

$6$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{8}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 입니다.

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 4.2

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 4.3

$8$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 5.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{7}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.2.1

$x^{7}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.2.3

$7$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.4

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.4.1

$x^{5}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.4.3

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.5

지수를 더하여 $x^{6}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.5.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.5.3

$3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.6

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.7

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.8

지수를 더하여 $x^{8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.8.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.8.3

$3$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.9

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.1.10

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.2

$- 48 x^{11}$ 를 $24 x^{11}$ 에 더합니다.

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.4.3

$48 x^{9}$ 에서 $32 x^{9}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 6.5

${(x^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

단계 6.5.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

단계 6.6

$- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ 에서 $8 x^{9}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$- 24 x^{11}$ 에서 $8 x^{9}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

단계 6.6.2

$16 x^{9}$ 에서 $8 x^{9}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

단계 6.6.3

$8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ 에서 $8 x^{9}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

단계 6.7

$x^{9}$ 및 $x^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ 에서 $x^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

단계 6.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

단계 6.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

단계 6.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

단계 6.7.2.4

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

단계 6.8

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

단계 6.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

단계 6.10

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

단계 6.11

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

단계 6.11.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

단계 6.11.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

단계 6.11.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

단계 6.11.2

$8$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 24 x^{3} + 16 x$