미적분 예제

$(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$24 - 2 x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} (24 - 2 x) x]$

단계 1.1.2

$24 - 2 x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} {(24 - 2 x)}^{1} x]$

단계 1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1 + 1} x]$

단계 1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2} x]$

단계 1.1.5

$f (x) = {(24 - 2 x)}^{2}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

단계 1.1.6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

단계 1.1.6.2

${(24 - 2 x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

단계 1.1.7

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 24 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $24 - 2 x$ 로 바꿉니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

단계 1.1.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

단계 1.1.7.3

$u$ 를 모두 $24 - 2 x$ 로 바꿉니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

단계 1.1.8

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.8.1

합의 법칙에 의해 $24 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

단계 1.1.8.2

$24$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $24$ 입니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

단계 1.1.8.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

단계 1.1.8.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.1.8.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.8.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \cdot 1)$

단계 1.1.8.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x))$

단계 1.1.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24 - 4 (- 2 x))$

단계 1.1.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24) + x (- 4 (- 2 x))$

단계 1.1.9.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.3.1

$- 4$ 에 $24$ 을 곱합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} + x \cdot - 96 + x (- 4 (- 2 x))$

단계 1.1.9.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 96$ 이동하기

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 \cdot x + x (- 4 (- 2 x))$

단계 1.1.9.3.3

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + x (8 x)$

단계 1.1.9.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x)$

단계 1.1.9.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x^{1})$

단계 1.1.9.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{1 + 1}$

단계 1.1.9.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{2}$

단계 1.1.9.4

항을 다시 정렬합니다.

$8 x^{2} + {(24 - 2 x)}^{2} - 96 x$

단계 1.1.9.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.5.1

${(24 - 2 x)}^{2}$ 을 $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x^{2} + (24 - 2 x) (24 - 2 x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x^{2} + 24 (24 - 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.5.3.1.1

$24$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 576 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.3.1.2

$- 2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.3.1.3

$24$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 x (- 2 x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 96 x$

단계 1.1.9.5.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.9.5.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 96 x$

단계 1.1.9.5.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 96 x$

단계 1.1.9.5.3.1.6

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x + 4 x^{2} - 96 x$

단계 1.1.9.5.3.2

$- 48 x$ 에서 $48 x$ 을 뺍니다.

$8 x^{2} + 576 - 96 x + 4 x^{2} - 96 x$

단계 1.1.9.6

$8 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$12 x^{2} + 576 - 96 x - 96 x$

단계 1.1.9.7

$- 96 x$ 에서 $96 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 576 - 192 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} + 576 - 192 x$ 입니다.

$12 x^{2} + 576 - 192 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12 x^{2} + 576 - 192 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2}) + 576 - 192 x = 0$

단계 2.2.1.2

$576$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 - 192 x = 0$

단계 2.2.1.3

$- 192 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 + 12 (- 16 x) = 0$

단계 2.2.1.4

$12 x^{2} + 12 \cdot 48$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x) = 0$

단계 2.2.1.5

$12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$12 (x^{2} + 48 - 16 x) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 48 - 16 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $48$ 이고 합은 $- 16$ 입니다.

$- 12, - 4$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$12 ((x - 12) (x - 4)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$12 (x - 12) (x - 4) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 12 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 2.4

$x - 12$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 12$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 12 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $12$ 를 더합니다.

$x = 12$

단계 2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.6

$12 (x - 12) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 12, 4$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 12$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $12$ 를 대입합니다.

$(24 - 2 \cdot 12) (24 - 2 \cdot 12) (12)$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$(24 - 24) (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

단계 4.1.2.2

$24$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$0 (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

단계 4.1.2.3

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$0 (24 - 24) \cdot 12$

단계 4.1.2.4

$24$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$0 \cdot 0 \cdot 12$

단계 4.1.2.5

$0 \cdot 0 \cdot 12$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \cdot 12$

단계 4.1.2.5.2

$0$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.2

$x = 4$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$(24 - 2 \cdot 4) (24 - 2 \cdot 4) (4)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(24 - 8) (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

단계 4.2.2.2

$24$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$16 (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

단계 4.2.2.3

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 (24 - 8) \cdot 4$

단계 4.2.2.4

$24$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$16 \cdot 16 \cdot 4$

단계 4.2.2.5

$16 \cdot 16 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.5.1

$16$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$256 \cdot 4$

단계 4.2.2.5.2

$256$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$1024$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(12, 0), (4, 1024)$

단계 5