미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{{(3 x - 5)}^{9}}$ , $x = 2$

단계 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

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단계 1.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = \frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$

단계 1.2.2

$\frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2}{{(6 - 5)}^{9}}$

단계 1.2.2.1.2

$6$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2}{1^{9}}$

단계 1.2.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{2}{1}$

단계 1.2.2.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 2$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 2$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(3 x - 5)}^{9}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{({(3 x - 5)}^{9})}^{2}}$

단계 2.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

${({(3 x - 5)}^{9})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{9 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.2.3

${(3 x - 5)}^{9}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.3

$f (x) = x^{9}$ , $g (x) = 3 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.3.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (9 {(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.4.2

${(3 x - 5)}^{9} - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])$ 에서 ${(3 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.4.2.1

${(3 x - 5)}^{9}$ 에서 ${(3 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.4.2.2

$- 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])$ 에서 ${(3 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) + {(3 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.4.2.3

${(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) + {(3 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))$ 에서 ${(3 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{18}}$

단계 2.5

공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

${(3 x - 5)}^{18}$ 에서 ${(3 x - 5)}^{8}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{8} {(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{8} {(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.6

합의 법칙에 의해 $3 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.9

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.10

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 + 0)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.11

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x - 5 - 9 x \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.11.2

$3$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 5 - 27 x}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.11.3

$3 x$ 에서 $27 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 24 x - 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.12

간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$- 24 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (24 x) - 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.12.2

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (24 x) - 1 (5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.12.3

$- (24 x) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (24 x + 5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.12.4

$- (24 x + 5)$ 을 $- 1 (24 x + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (24 x + 5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{24 x + 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

단계 2.13

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{24 (2) + 5}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

단계 2.14

간단히 합니다.

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단계 2.14.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.14.1.1

$24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{48 + 5}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

단계 2.14.1.2

$48$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- \frac{53}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

단계 2.14.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.14.2.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{53}{{(6 - 5)}^{10}}$

단계 2.14.2.2

$6$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- \frac{53}{1^{10}}$

단계 2.14.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{53}{1}$

단계 2.14.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.14.3.1

$53$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 53$

단계 2.14.3.2

$- 1$ 에 $53$ 을 곱합니다.

$- 53$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $- 53$ 과 주어진 점 $(2, 2)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (2) = - 53 \cdot (x - (2))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 2 = - 53 \cdot (x - 2)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 53 \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 2 = 0 + 0 - 53 \cdot (x - 2)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 2 = - 53 \cdot (x - 2)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 2 = - 53 x - 53 \cdot - 2$

단계 3.3.1.4

$- 53$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - 2 = - 53 x + 106$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = - 53 x + 106 + 2$

단계 3.3.2.2

$106$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = - 53 x + 108$

단계 4