미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.2

$1 - x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.3

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.7

곱합니다.

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단계 1.3.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.7.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.9

분수를 통분합니다.

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단계 1.3.9.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.3.9.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.3.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.3.2

$- 2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.5

$- x^{2} + 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.5.1

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.5.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.5.3

$x (- x) + x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.7

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.8

$- (x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.9

$- (x - 2)$ 을 $- 1 (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 1.4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $0.4$ 을 대입합니다.

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

단계 3

$0.4$ 에 $0.4 - 2$ 을 곱합니다.

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $0.4$ 을 곱합니다.

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

단계 4.2

$1$ 에서 $0.4$ 을 뺍니다.

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

단계 4.3

$0.6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$3$ 에 $0.36$ 을 곱합니다.

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

단계 5.2

$- 0.64$ 을 $1.08$ 로 나눕니다.

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

단계 5.3

$- 1$ 에 $- 0.\overline{592}$ 을 곱합니다.

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$