미적분 예제

$F (x) = {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 10 x - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $10 x - 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $10 x - 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.6

분수를 통분합니다.

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단계 1.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

단계 1.7

합의 법칙에 의해 $10 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 1.8

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 1.10

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 9])$

단계 1.11

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

단계 1.12

항을 간단히 합니다.

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단계 1.12.1

$10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

단계 1.12.2

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $10$ 을 묶습니다.

$\frac{10}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.12.3

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13

공약수로 약분합니다.

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단계 1.13.1

$2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 1.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{{(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$F' (1) = \frac{5}{{(10 (1) - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$F' (1) = \frac{5}{{(10 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.2

$10$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$F' (1) = \frac{5}{1^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$F' (1) = \frac{5}{1}$

단계 4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$F' (1) = 5$